Axiomes de probabilitat

En la teoria de la probabilitat, una mesura de probabilitat (o més breument probabilitat) ${\displaystyle \ \mathbb {P} }$ és una aplicació que a un esdeveniment A qualsevol li associa un nombre real (notat ${\displaystyle \ \mathbb {P} (A)}$). Una mesura de probabilitat ha de satisfer els axiomes de probabilitat o axiomes de Kolmogórov, nomenats així en honor d'Andreï Nikolaievitch Kolmogórov, matemàtic rus que els va desenvolupar.

Una mesura de probabilitat ${\displaystyle \ \mathbb {P} }$ sempre es defineix sobre un espai mesurable ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {A}}\right),}$ és a dir sobre una parella constituïda d'un conjunt d'esdeveniments, l'univers Ω, i d'una σ-àlgebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ de parts de l'univers Ω. Els elements de la σ-àlgebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ s'anomenen els esdeveniments. Així la mesura de probabilitat ${\displaystyle \ \mathbb {P} }$ és una aplicació de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ en ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

Primer axioma

Per a tot esdeveniment ${\displaystyle \ A}$:

${\displaystyle 0\leq \mathbb {P} (A)\leq 1.}$

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment es representa amb un nombre real comprès entre 0 i 1.

Segon axioma

Si ${\displaystyle \ \Omega }$ designa l'univers associat a l'experiment aleatori en estudi,

${\displaystyle \ \mathbb {P} (\Omega )=1}$,

És a dir que la probabilitat de l'esdeveniment cert, o d'obtenir qualsevol resultat de l'univers, és igual a 1. En altres paraules, la probabilitat de realitzar un o l'altre dels esdeveniments elementals és igual a 1.

Tercer axioma

Tota successió d'esdeveniments dos a dos disjunts (es diu també: dos a dos incompatibles), ${\displaystyle A_{1},\,A_{2},\dots }$ satisfà:

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots )=\sum _{i=1}^{+\infty }\mathbb {P} (A_{i})}$.

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la unió (numerable) disjunta d'esdeveniments és igual a la suma de les probabilitats d'aquests esdeveniments. Això s'anomena la σ;-additivitat, o additivitat numerable (si els esdeveniments no són dos a dos de disjunts, aquesta relació ja no és verdadera en general).

Conseqüències

A partir dels axiomes, es demostren un cert nombre de propietats útils per al càlcul de les probabilitats, per exemple:

• ${\displaystyle \mathbb {P} (\emptyset )=0.}$

demostració

Fent servir el 3r axioma amb ${\displaystyle \scriptstyle \ A_{k}=\emptyset \ }$ per a tot ${\displaystyle \scriptstyle \ k.\ }$ s'obté ${\displaystyle \mathbb {P} (\emptyset )=\sum _{k\geq 1}\mathbb {P} (\emptyset ),}$ relació que no es pot satisfer si ${\displaystyle \scriptstyle \ \mathbb {P} (\emptyset )\in ]0,1],\ }$ ja que llavors el terme de dreta val ${\displaystyle \scriptstyle \ +\infty .\ }$ >Per tant no hi ha altra opció que ${\displaystyle \scriptstyle \ \mathbb {P} (\emptyset )=0,\ }$.

• Si ${\displaystyle \ A}$, ${\displaystyle \ B}$ són dos esdeveniments incompatibles (o disjunts), llavors

${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B).}$

• De forma més general, si ${\displaystyle \ (A_{k})_{1\leq k\leq n}}$ és una família d'esdeveniments 2 a 2 incompatibles, llavors

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{1\leq k\leq n}A_{k}\right)=\sum _{1\leq k\leq n}\mathbb {P} (A_{k}).}$

Demostració

Fent servir el 3r axioma amb ${\displaystyle \scriptstyle \ A_{k}=\emptyset \ }$ per a tot ${\displaystyle \scriptstyle \ k\geq n+1.\ }$ s'obté una successió d'esdeveniments incompatibles 2 a 2 tals que ${\displaystyle \bigcup _{1\leq k\leq n}A_{k}=\bigcup _{k\geq 1}A_{k},}$

per tant

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{1\leq k\leq n}A_{k}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcup _{k\geq 1}A_{k}\right),}$

però en virtut del tercer axioma

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup _{k\geq 1}A_{k}\right)=\sum _{k\geq 1}\mathbb {P} \left(A_{k}\right)}$ i finalment, ja que per a tot ${\displaystyle \scriptstyle \ k\geq n+1,\ }$ ${\displaystyle \mathbb {P} \left(A_{k}\right)=\mathbb {P} \left(\emptyset \right)=0,\ }$ s'obté el resultat desitjat.

• ${\displaystyle \mathbb {P} (B\setminus A)=\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)}$;

Aquesta relació significa que la probabilitat que B es realitzi, però no A, és igual a la diferència ${\displaystyle \mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B)}$. Aquesta relació es desprèn del fet que B és reunió disjunta de ${\displaystyle B\setminus A}$ i de ${\displaystyle A\cap B.}$

• En particular, si ${\displaystyle A\subset B}$, llavors

${\displaystyle \mathbb {P} (A)\leq \mathbb {P} (B)}$

És la propietat de creixement de la probabilitat. En efecte, en el cas particular on ${\displaystyle A\subset B}$, la propietat precedent s'escriu

${\displaystyle \mathbb {P} (B\setminus A)=\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A),\ }$ on el primer terme és clarament positiu o zero.

• En el cas particular on ${\displaystyle B=\Omega ,}$ això dona que, per a tot esdeveniment ${\displaystyle \ A}$,

${\displaystyle \mathbb {P} (\Omega \setminus A)=1-\mathbb {P} (A)}$

Això significa que la probabilitat perquè un esdeveniment no es produeixi és igual a 1 menys la probabilitat que es realitzi; aquesta propietat es fa servir quan és més senzill determinar la probabilitat de l'esdeveniment contrari que la de l'esdeveniment mateix.

• Per a tots els esdeveniments ${\displaystyle \ A}$, ${\displaystyle \ B}$

${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-\mathbb {P} (A\cap B).}$

Això significa que la probabilitat perquè un almenys dels esdeveniments ${\displaystyle A}$ o ${\displaystyle B}$ es realitzi és igual a la suma de les probabilitats que ${\displaystyle \ A}$ es realitzi, i perquè ${\displaystyle \ B}$ es realitzi, menys la probabilitat que ${\displaystyle \ A}$ i ${\displaystyle \ B}$ es realitzin de manera simultània. També,

${\displaystyle \mathbb {P} (A\cup B\cup C)=\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)+\mathbb {P} (C)-\mathbb {P} (B\cap C)-\mathbb {P} (C\cap A)-\mathbb {P} (A\cap B)+\mathbb {P} (A\cap B\cap C).}$

• Aquestes dues últimes fórmules són casos particulars (n=2,3) del principi d'inclusió-exclusió

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\,\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\,\right)=\sum _{k=1}^{n}\left((-1)^{k-1}\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leq n}\mathbb {P} \left(A_{i_{1}}\cap A_{i_{2}}\cap \ldots \cap A_{i_{k}}\right)\right),}$

que dona la probabilitat de la unió de n conjunts no necessàriament disjunts.

Límits creixents i decreixents

• Tota successió creixent d'esdeveniments ${\displaystyle A_{1}\,\subset \,A_{2}\,\subset \,A_{3}\,\subset \,\dots }$ satisfà:

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots )=\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n}).}$

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la unió (numerable) d'esdeveniments creixents és igual al límit de les probabilitats d'aquests esdeveniments.

Demostració

Es posa ${\displaystyle B_{1}=A_{1}\quad {\text{et}}\quad \forall n\geq 2,\ B_{n}=A_{n}\backslash A_{n-1}.}$

Llavors els ${\displaystyle B_{i}}$ són disjunts i verifiquen

${\displaystyle \bigcup _{n\geq 1}B_{n}=\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\quad {\text{et}}\quad \forall n\geq 1,\ \bigcup _{k=1}^{n}B_{k}=A_{n}.}$

Les propietats de σ-additivitat i d'additivitat, respectivament, comporten llavors que

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\mathbb {P} (B_{n})=\mathbb {P} \left(\bigcup _{n\geq 1}A_{n}\right)\quad {\text{et}}\quad \forall n\geq 1,\ \sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (B_{k})=\mathbb {P} (A_{n}).}$ Llavors ${\displaystyle \scriptstyle \ \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots )=\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n})}$ no és més que la definició de la suma d'una sèrie com a límit de les seves sumes parcials.

• Tota successió decreixent d'esdeveniments ${\displaystyle A_{1}\,\supset \,A_{2}\,\supset \,A_{3}\,\supset \,\dots }$ satisfà:

${\displaystyle \mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots )=\lim _{n}\mathbb {P} (A_{n}).}$

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la intersecció (numerable) d'esdeveniments decreixents és igual al límit de les probabilitats d'aquests esdeveniments.

Formulació a partir de la teoria de la mesura

De manera equivalent, es defineix més simplement el triplet ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$ que representa un espai de probabilitat, com una espai mesurable la mesura del qual, ${\displaystyle \mathbb {P} }$, té la particularitat de tenir una massa total igual a 1:

${\displaystyle \mathbb {P} (\Omega )=1.}$

En teoria de la mesura, els esdeveniments s'anomenen «conjunts mesurables».

Aquest minilèxic permet traduir els resultats de la teoria de la mesura i de la integració de Lebesgue en termes probabilistes.