Element neutre

L'element neutre, d'una operació, en un conjunt C, és un element e ∈ C {\displaystyle e\in C} que operat amb qualsevol altre element a de C, no l'altera, és a dir:[1]

a ∗ e = e ∗ a = a {\displaystyle a*e=e*a=a}

L'element neutre de la suma en el conjunt dels nombres reals és el 0. En el mateix conjunt, quan l'operació és la multiplicació, l'element neutre és l'1.[2][3][4]

Definicions

Operació interna

Donat un conjunt C amb una operació interna ∗ : C × C → C {\displaystyle *:C\times C\rightarrow C} , diem que un element e ∈ C {\displaystyle e\in C} és:

  • Un element neutre per l'esquerra si ∀ x : C ∙ e ∗ x = x {\displaystyle \forall x:C\bullet e*x=x} ;
  • Un element neutre per la dreta si ∀ x : C ∙ x ∗ e = x {\displaystyle \forall x:C\bullet x*e=x} ;
  • Un element neutre bilateral, o simplement un element neutre, ∀ x : C ∙ x ∗ e = e ∗ x = x {\displaystyle \forall x:C\bullet x*e=e*x=x} .

Si existeix un element neutre per l'esquerra (per la dreta) direm que l'operació ∗ {\displaystyle *} és unitària per l'esquerra (per la dreta), i si l'element neutre és bilateral direm simplement que és unitària.

Propietats:

  1. En un conjunt poden haver-hi més d'un element neutre per l'esquerra, a condició que no hi hagi cap element neutre per la dreta, i a l'inrevés. Si hi ha elements neutres per l'esquerra i per la dreta aleshores tots els neutres són iguals entre si, i l'element neutre és únic i bilateral.
  2. Tot element neutre (per l'esquerra, per la dreta, o bilateral) és idempotent.
  3. Els elements neutres bilaterals són centrals (commuten amb tots els elements del conjunt).

Operació externa

Donats dos conjunts C i S, i una operació binària externa per l'esquerra ∗ : S × C → C {\displaystyle *:S\times C\rightarrow C} , direm que ϵ ∈ S {\displaystyle \epsilon \in S} és un element neutre per l'esquerra si ∀ x : C ∙ ϵ ∗ x = x {\displaystyle \forall x:C\bullet \epsilon *x=x} . Si existeix tal element direm que l'operació és exounitària per l'esquerra, o simplement unitària. Intercanviant la posició dels operands podem definir l'element neutre per la dreta en una operació externa per la dreta.

Exemples

Conjunt Operació Element neutre
nombres reals suma 0
nombres reals multiplicació 1
funcions d'un conjunt a si mateix composició de funcions funció identitat
matrius mxn suma de matrius matriu de zeros
matrius nxn producte de matrius matriu identitat
vectors suma de vectors vector nul
cadenes de caràcters concatenació de cadenes cadena buida

Referències

  1. ↑ Identity Element. MathWorld (anglès)
  2. ↑ «Elemento neutro de la suma: El elemento neutro de la suma para los números reales es 0.». [Consulta: 27 gener 2022].
  3. ↑ «Elemento neutro de la multiplicación: El elemento neutro de la multiplicación para los números reales es 1, porque los números complejos son 1+0i.». [Consulta: 27 gener 2022].
  4. ↑ «Identity Element | Encyclopedia.com». [Consulta: 27 gener 2022].

Vegeu també