Funció poligamma

No s'ha de confondre amb Funció gamma múltiple.

En matemàtiques, la funció poligamma d'ordre m, denotada ψ m ( z ) {\displaystyle \psi _{m}(z)} o ψ ( m ) ( z ) {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)} , és una funció meromorfa sobre els nombres complexos ℂ definida com la (m + 1)-èsima derivada logarítmica de la funció gamma:

ψ ( m ) ( z ) := d m d z m ψ ( z ) = d m + 1 d z m + 1 ln ⁡ Γ ( z ) = ( d d z ) m + 1 ln ⁡ Γ ( z ) {\displaystyle \psi ^{(m)}(z):={\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\psi (z)={\frac {d^{m+1}}{dz^{m+1}}}\ln \Gamma (z)=\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\right)^{m+1}\ln \Gamma (z)\qquad }

Així,

  • ψ 0 ( z ) = Γ ′ ( z ) Γ ( z ) {\displaystyle \psi _{0}(z)={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}\,} és la funció digamma ψ ( z ) {\displaystyle \psi (z)} , i Γ ( z ) {\displaystyle \Gamma (z)} és la funció gamma. Són holomorfes en ℂ \ −ℕ0. En tots els enters no-positius, aquestes funcions poligamma tenen un pol d'ordre m + 1.
  • ψ 1 ( z ) = ψ ′ ( z ) {\displaystyle \psi _{1}(z)=\psi '(z)\,} . De vegades ψ 1 {\displaystyle \psi _{1}} (o ψ ( 1 ) {\displaystyle \psi ^{(1)}} ) s'anomena funció trigamma.

Definició per una integral

Quan m > 0 i Re z > 0, la funció poligamma és igual a

ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m + 1 ∫ 0 ∞ t m e − z t 1 − e − t d t = − ∫ 0 1 t z − 1 1 − t ( ln ⁡ t ) m d t . {\displaystyle {\begin{aligned}\psi ^{(m)}(z)&=(-1)^{m+1}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{m}e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\,dt\\&=-\int _{0}^{1}{\frac {t^{z-1}}{1-t}}(\ln t)^{m}\,dt.\end{aligned}}}

Això expressa la funció poligamma com la transformada de Laplace ( − 1 ) m + 1 t m / ( 1 − e − t ) {\displaystyle (-1)^{m+1}t^{m}/(1-e^{-t})} . Es deriva del teorema de Bernstein sobre les funcions monòtones que, per a m > 0 i x real i no-negatiu, ( − 1 ) m + 1 ψ ( m ) ( x ) {\displaystyle (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)} és una funció completament monòtona.

Fent m = 0 a la fórmula anterior no dona una representació integral de la funció digamma. La funció digamma té una representació integral, a causa de Gauss, que és similar al m = 0 del cas anterior, però amb el terme addicional e − t / t {\displaystyle e^{-t}/t} .


  • Gràfica la funció del poligamma al llarg de l'eix real amb m = 0 (taronja), m = 1 (groc), m = 2 (verd), m = 3 (vermell) i m = 4 (blau)
    Gràfica la funció del poligamma al llarg de l'eix real amb m = 0 (taronja), m = 1 (groc), m = 2 (verd), m = 3 (vermell) i m = 4 (blau)

Representació en el pla complex

La representació del logaritme de la funció gamma i dels primers ordres de la funció poligamma en el pla complex és:

  • '"`UNIQ--postMath-0000000E-QINU`"'
    ln ⁡ Γ ( z ) {\displaystyle \ln \Gamma (z)}
  • '"`UNIQ--postMath-0000000F-QINU`"'
    ψ 0 ( z ) {\displaystyle \psi _{0}(z)}
  • '"`UNIQ--postMath-00000010-QINU`"'
    ψ 1 ( z ) {\displaystyle \psi _{1}(z)}
  • '"`UNIQ--postMath-00000011-QINU`"'
    ψ 2 ( z ) {\displaystyle \psi _{2}(z)}
  • '"`UNIQ--postMath-00000012-QINU`"'
    ψ 3 ( z ) {\displaystyle \psi _{3}(z)}
  • '"`UNIQ--postMath-00000013-QINU`"'
    ψ 4 ( z ) {\displaystyle \psi _{4}(z)}

Relació de recurrència

Satisfa la relació de recurrència

ψ ( m ) ( z + 1 ) = ψ ( m ) ( z ) + ( − 1 ) m m ! z m + 1 {\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\psi ^{(m)}(z)+{\frac {(-1)^{m}\,m!}{z^{m+1}}}}

cosa que (considerada per un argument sencer positiu) condueix a la presentació de la suma de reciprocs de les potències dels nombres naturals:

ψ ( m ) ( n ) ( − 1 ) m + 1 m ! = ζ ( 1 + m ) − ∑ k = 1 n − 1 1 k m + 1 = ∑ k = n ∞ 1 k m + 1 m ≥ 1 {\displaystyle {\frac {\psi ^{(m)}(n)}{(-1)^{m+1}\,m!}}=\zeta (1+m)-\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k^{m+1}}}=\sum _{k=n}^{\infty }{\frac {1}{k^{m+1}}}\qquad m\geq 1}

i

ψ ( 0 ) ( n ) = − γ   + ∑ k = 1 n − 1 1 k {\displaystyle \psi ^{(0)}(n)=-\gamma \ +\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{k}}}

per a tot n ∈ ℕ.

Igual que la funció log-gamma, les funcions poligamma es poden generalitzar des del domini ℕ exclusivament a nombres reals positius només per la seva relació de recurrència i per un valor de funció donat ψ(m)(1), excepte en el cas m = 0 on la condició addicional d'estricta monotonia en ℝ+ encara es necessària. Aquesta és una conseqüència trivial del teorema de Bohr-Mollerup per a la funció gamma en què també s'exigeix la convexitat estrictament logarítmica ℝ+. El cas m = 0 s'ha de tractar d'una altra manera perquè ψ(0) no és normalitzable a l'infinit (la suma dels recíprocs no convergeix).

Relació de reflexió

( − 1 ) m ψ ( m ) ( 1 − z ) − ψ ( m ) ( z ) = π d m d z m cot ⁡ ( π z ) = π m + 1 P m ( cos ⁡ ( π z ) ) sin m + 1 ⁡ ( π z ) {\displaystyle (-1)^{m}\psi ^{(m)}(1-z)-\psi ^{(m)}(z)=\pi {\frac {d^{m}}{dz^{m}}}\cot {(\pi z)}=\pi ^{m+1}{\frac {P_{m}(\cos(\pi z))}{\sin ^{m+1}(\pi z)}}}

on Pm és alternativament un polinomi de senar o parell de grau | m − 1 | {\displaystyle \left\vert m-1\right\vert } amb coeficients enters i coeficient principal (−1)m⌈2m − 1⌉. Aquest obeeix l'equació de la recursió

P 0 ( x ) = x P m + 1 ( x ) = − ( ( m + 1 ) x P m ( x ) + ( 1 − x 2 ) P m ′ ( x ) ) . {\displaystyle {\begin{aligned}P_{0}(x)&=x\\P_{m+1}(x)&=-\left((m+1)xP_{m}(x)+\left(1-x^{2}\right)P'_{m}(x)\right).\end{aligned}}}

Teorema de multiplicació

El teorema de multiplicació dona

k m + 1 ψ ( m ) ( k z ) = ∑ n = 0 k − 1 ψ ( m ) ( z + n k ) m ≥ 1 {\displaystyle k^{m+1}\psi ^{(m)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)\qquad m\geq 1}

i

k ψ ( 0 ) ( k z ) = k log ⁡ ( k ) + ∑ n = 0 k − 1 ψ ( 0 ) ( z + n k ) {\displaystyle k\psi ^{(0)}(kz)=k\log(k)+\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(0)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)}

per a la funció digamma.

Representació en sèries

La funció poligamma té la representació en sèries

ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m + 1 m ! ∑ k = 0 ∞ 1 ( z + k ) m + 1 {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{m+1}}}}

que es mantè m > 0, i qualsevol z complex no és igual a un nombre enter negatiu. Aquesta representació es pot escriure de manera més compacta en termes de la funció zeta de Hurwitz

ψ ( m ) ( z ) = ( − 1 ) m + 1 m ! ζ ( m + 1 , z ) . {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}\,m!\,\zeta (m+1,z).}

Alternativament, es pot entendre que la zeta de Hurwitz generalitza la funció poligamma a un ordre arbitrari, no-enter.

Es pot permetre una sèrie més per a les funcions poligamma. Tal com va donar Oskar Schlömilch,

1 Γ ( z ) = z e γ z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) e − z n . {\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}.}

Aquest és el resultat del teorema de factorització de Weierstrass. Per tant, la funció gamma ara es pot definir com:

Γ ( z ) = e − γ z z ∏ n = 1 ∞ ( 1 + z n ) − 1 e z n . {\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{\frac {z}{n}}.}

Ara, el logaritme natural de la funció gamma és fàcilment representable:

ln ⁡ Γ ( z ) = − γ z − ln ⁡ ( z ) + ∑ n = 1 ∞ ( z n − ln ⁡ ( 1 + z n ) ) . {\displaystyle \ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln(z)+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n}}-\ln \left(1+{\frac {z}{n}}\right)\right).}

Finalment, arribem a una representació amb sumatoris per a la funció poligamma:

ψ ( n ) ( z ) = d n + 1 d z n + 1 ln ⁡ Γ ( z ) = − γ δ n 0 − ( − 1 ) n n ! z n + 1 + ∑ k = 1 ∞ ( 1 k δ n 0 − ( − 1 ) n n ! ( k + z ) n + 1 ) {\displaystyle \psi ^{(n)}(z)={\frac {d^{n+1}}{dz^{n+1}}}\ln \Gamma (z)=-\gamma \delta _{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{z^{n+1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}\delta _{n0}-{\frac {(-1)^{n}n!}{(k+z)^{n+1}}}\right)}

On δn0 és la delta de Kronecker.

També el transcendent de Lerch

Φ ( − 1 , m + 1 , z ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( z + k ) m + 1 {\displaystyle \Phi (-1,m+1,z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(z+k)^{m+1}}}}

es pot denotar en termes de funció poligamma

Φ ( − 1 , m + 1 , z ) = 1 ( − 2 ) m + 1 m ! ( ψ ( m ) ( z 2 ) − ψ ( m ) ( z + 1 2 ) ) {\displaystyle \Phi (-1,m+1,z)={\frac {1}{(-2)^{m+1}m!}}\left(\psi ^{(m)}\left({\frac {z}{2}}\right)-\psi ^{(m)}\left({\frac {z+1}{2}}\right)\right)}

Sèries de Taylor

La sèrie de Taylor a z = 1 és

ψ ( m ) ( z + 1 ) = ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) m + k + 1 ( m + k ) ! k ! ζ ( m + k + 1 ) z k m ≥ 1 {\displaystyle \psi ^{(m)}(z+1)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{m+k+1}{\frac {(m+k)!}{k!}}\zeta (m+k+1)z^{k}\qquad m\geq 1}

i

ψ ( 0 ) ( z + 1 ) = − γ + ∑ k = 1 ∞ ( − 1 ) k + 1 ζ ( k + 1 ) z k {\displaystyle \psi ^{(0)}(z+1)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}\zeta (k+1)z^{k}}

que convergeix per a | z | < 1 {\displaystyle \left\vert z\right\vert <1} . Aquí, ζ és la funció zeta de Riemann. Aquesta sèrie es deriva fàcilment de la corresponent sèrie de Taylor per a la funció zeta de Hurwitz. Aquesta sèrie es pot utilitzar per obtenir un nombre de les sèries racionals zeta.

Sèrie asimptòtica

Aquestes sèries no convergents es poden utilitzar per obtenir ràpidament un valor aproximat amb una certa precisió numèrica per a arguments grans:

ψ ( m ) ( z ) ∼ ( − 1 ) m + 1 ∑ k = 0 ∞ ( k + m − 1 ) ! k ! B k z k + m m ≥ 1 {\displaystyle \psi ^{(m)}(z)\sim (-1)^{m+1}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+m-1)!}{k!}}{\frac {B_{k}}{z^{k+m}}}\qquad m\geq 1}

i

ψ ( 0 ) ( z ) ∼ ln ⁡ ( z ) − ∑ k = 1 ∞ B k k z k {\displaystyle \psi ^{(0)}(z)\sim \ln(z)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}}{kz^{k}}}}

on hem triat B1 = 1/2, és a dir, els nombres de Bernoulli del segon tipus.

Desigualtats

La cotangent hiperbòlica satisfà la desigualtat

t 2 coth ⁡ t 2 ≥ 1 , {\displaystyle {\frac {t}{2}}\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}\geq 1,}

i això implica que la funció

t m 1 − e − t − ( t m − 1 + t m 2 ) {\displaystyle {\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}-\left(t^{m-1}+{\frac {t^{m}}{2}}\right)}

sigui no-negativa per a tot m ≥ 1 {\displaystyle m\geq 1} i t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} . Es dedueix que la transformació de Laplace d'aquesta funció és completament monòtona. Mitjançant la representació integral anterior, arribem a la conclusió que

( − 1 ) m + 1 ψ ( m ) ( x ) − ( ( m − 1 ) ! x m + m ! 2 x m + 1 ) {\displaystyle (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)-\left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\right)}

és completament monòtona. La desigualtat de convexitat e t ≥ 1 + t {\displaystyle e^{t}\geq 1+t} implica que

( t m − 1 + t m ) − t m 1 − e − t {\displaystyle \left(t^{m-1}+t^{m}\right)-{\frac {t^{m}}{1-e^{-t}}}}

és no-negativa per a tot m ≥ 1 {\displaystyle m\geq 1} i t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} , de manera que un argument similar de transformació de Laplace produeix la completa monotonia de

( ( m − 1 ) ! x m + m ! x m + 1 ) − ( − 1 ) m + 1 ψ ( m ) ( x ) . {\displaystyle \left({\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}\right)-(-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x).}

Per tant, per a tot m ≥ 1 i x > 0,

( m − 1 ) ! x m + m ! 2 x m + 1 ≤ ( − 1 ) m + 1 ψ ( m ) ( x ) ≤ ( m − 1 ) ! x m + m ! x m + 1 . {\displaystyle {\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{2x^{m+1}}}\leq (-1)^{m+1}\psi ^{(m)}(x)\leq {\frac {(m-1)!}{x^{m}}}+{\frac {m!}{x^{m+1}}}.}

Alguns valors particulars

S'ha demostrat que:

d d z ln ⁡ Γ ( z ) = Γ ′ ( z ) Γ ( z ) = ψ 0 ( z ) = − γ − 1 z − ∑ k = 1 ∞ ( 1 z + k − 1 k ) {\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln {\Gamma {(z)}}={\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{0}(z)=-\gamma -{\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{z+k}}-{\frac {1}{k}}\right)}

on γ {\displaystyle \gamma } és la constant d'Euler-Mascheroni. Aquesta sèrie, per a z = m {\displaystyle z=m} enters positius, es redueix a una suma finita:

Γ ′ ( m ) Γ ( m ) = ψ 0 ( m ) = − γ + 1 + 1 2 + ⋯ + 1 m − 1 {\displaystyle {\frac {\Gamma '{(m)}}{\Gamma {(m)}}}=\psi _{0}(m)=-\gamma +1+{\frac {1}{2}}+\dots +{\frac {1}{m-1}}}

Derivant membre a membre respecte a z {\displaystyle z} obtenim

d d z Γ ′ ( z ) Γ ( z ) = ψ 1 ( z ) = ∑ k = 0 ∞ 1 ( z + k ) 2 {\displaystyle {\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}=\psi _{1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}}

que per a z = 0 {\displaystyle z=0} divergeix, mentre per z = 1 {\displaystyle z=1} es converteix en una sèrie harmònica generalitzada d'ordre 2

[ d d z Γ ′ ( z ) Γ ( z ) ] z = 1 = ψ 1 ( 1 ) = ∑ k = 0 ∞ 1 ( 1 + k ) 2 = ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 = ζ ( 2 ) = π 2 6 {\displaystyle \left[{\frac {d}{dz}}{\frac {\Gamma '{(z)}}{\Gamma {(z)}}}\right]_{z=1}=\psi _{1}(1)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+k)^{2}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}

Referències

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. «Section 6.4». A: Handbook of Mathematical Functions (en anglès). Nova York: Dover Publications, 1964, p. 260. ISBN 978-0-486-61272-0. 

Vegeu també