Binární relace

Binární relace je pojem z matematiky, vyjadřuje vztah (relaci) prvků jedné množiny k prvkům v množině druhé.

Příklad: Mějme množiny čísel ${\displaystyle A=(1,5,8)}$, ${\displaystyle B=(3,5,6)}$. Definujeme vztah (binární relaci) „je větší“ prvků z ${\displaystyle A}$ k prvkům z ${\displaystyle B}$. Vidíme, že číslo ${\displaystyle 8}$ (z množiny ${\displaystyle A}$) „je větší“ než číslo ${\displaystyle 3}$ z ${\displaystyle B}$. A říkáme, že prvek ${\displaystyle 8}$ je v binární relaci „je větší“ s prvkem ${\displaystyle 3}$, zkráceně ${\displaystyle (8}$ „je větší“ ${\displaystyle 3)}$. Většinou prvky, které jsou v binární relaci, značíme jen jako uspořádanou dvojici ${\displaystyle [8,3]}$. Binární relaci z tohoto příkladu lze popsat jako množinu uspořádaných dvojic ${\displaystyle R=([8,3],[8,5],[8,6],[5,3])}$. Na množinu ${\displaystyle R}$ lze nahlížet jako na podmnožinu kartézského součinu ${\displaystyle A\times B}$. Množiny ${\displaystyle (A,B,R)}$ lze použít jako definici binární relace.

Definice

Binární relace je uspořádaná trojice ${\displaystyle [A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle R]}$, kde ${\displaystyle A}$ a ${\displaystyle B}$ jsou libovolné množiny a ${\displaystyle R}$ je podmnožina kartézského součinu ${\displaystyle A\times B}$. Množině ${\displaystyle A}$ se říká definiční obor, množině ${\displaystyle B}$ obor hodnot a množinu ${\displaystyle R}$ nazýváme graf relace.

Binární relace značíme uspořádanou dvojicí ${\displaystyle [x,}$ ${\displaystyle y]}$, nebo pokud chceme rozlišit, o kterou relaci se jedná, pak ${\displaystyle (x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle y)}$, kde ${\displaystyle x\in A,\ y\in B}$ a ${\displaystyle R}$ je označení příslušné množiny z definice.

Druhy relací

Binární relace je:

• symetrická, pokud platí ${\displaystyle (x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle y)}$, pak platí ${\displaystyle (y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x)}$.

Příkladem může být relace ${\displaystyle R}$ „je sourozenec“. Je-li ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ množinou všech mých příbuzných, pak musí existovat (já ${\displaystyle R}$ sestra) a také (sestra ${\displaystyle R}$ já). Pokud sourozence nemám, je množina relací prázdná, i taková relace je symetrická.

• antisymetrická pokud ${\displaystyle (x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle y)}$ a současně ${\displaystyle (y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x)}$, pak platí ${\displaystyle x=y}$.

• tranzitivní, pokud ${\displaystyle (x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle y)}$ a současně ${\displaystyle (y}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle z)}$, pak platí ${\displaystyle (x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle z)}$.

Příkladem může být už zmíněná relace "je sourozenec" nebo relace "je vyšší". Já jsem vyšší než Petr a současně Petr je vyšší než Ondřej, z toho plyne: Já jsem vyšší než Ondřej. Tranzitivní relací například není relace "být kamarád". Já jsem kamarád Petra, on je kamarád Ondřeje, z toho ale nevyplývá kamarádství mezi mnou a Ondřejem.

• reflexivní, pokud pro každé ${\displaystyle x}$ platí ${\displaystyle (x}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x)}$. (Prvek ${\displaystyle x}$ je v relaci sám se sebou.)

Příklad reflexivní relace je "je stejný", příklad nereflexivní relace je "je vyšší". Neplatí, já "je vyšší" (než) já.

Relaci, která je reflexivní, symetrická, a tranzitivní nazýváme relace ekvivalence.

Relaci, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní nazýváme částečné uspořádání.

Další typy: úplné uspořádání, dobré uspořádání.

Operace s relacemi

Na množině binárních relací jsou definovány následující operace, jejichž výsledkem je opět relace:

• Inverzní relace k relaci ${\displaystyle R}$ mezi množinami ${\displaystyle B}$ a ${\displaystyle A}$ je relace ${\displaystyle R^{-1}=\{[y,x]\in B\times A\ |\ [x,y]\in R\}}$

• Relace složená z relací ${\displaystyle R}$ a ${\displaystyle S}$ je relace ${\displaystyle R\circ S=\{[x,z]\ |\ [x,y]\in R\land [y,z]\in S\}}$

• Průnik relací ${\displaystyle R}$ a ${\displaystyle S}$ je relace ${\displaystyle R\cap S=\{[x,y]\ |\ [x,y]\in R\land [x,y]\in S\}}$

• Sjednocení relací ${\displaystyle R}$ a ${\displaystyle S}$ je relace ${\displaystyle R\cup S=\{[x,y]\ |\ [x,y]\in R\lor [x,y]\in S\}}$

Literatura

BARTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. 4. vyd. Praha: Academia, 1994. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. 

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu binární relace na Wikimedia Commons