Disjunktní množiny

V teorii množin jsou dvě množiny disjunktní, pokud nemají žádný společný prvek. Např. {1, 2, 3} a {4, 5, 6} jsou disjunktní množiny.

Dvě množiny A a B jsou disjunktní právě tehdy, když jejich průnik je prázdná množina.

${\displaystyle A\cap B=\varnothing .}$

Definici lze rozšířit i na větší počet množin. Nechť jsou dány množiny A_i kde ${\displaystyle i\in I}$ a I je indexová množina. Množiny A_i jsou po dvou disjunktní, právě když pro každá ${\displaystyle j,k\in I}$ kde ${\displaystyle j\not =k}$ jsou A_j a A_k disjunktní. Pokud jsou množiny ${\displaystyle A_{i}}$ po dvou disjunktní, platí ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}=\emptyset }$. Opačně to ale platit nemusí, například průnik všech množin {1,2}, {2,3}, {3,4}… je prázdná množina, množiny ale nejsou po dvou disjunktní

Příklady

• Množina všech sudých čísel je disjunktní s množinou všech lichých čísel.
• Množina všech lidí, kteří byli na Měsíci, je disjunktní s množinou prezidentů USA.
• Množina všech prvočísel není disjunktní s množinou všech sudých čísel (neboť tyto dvě množiny mají společný prvek – číslo 2, které je (jediným) sudým prvočíslem).
• Buď ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ indexová množina a ${\displaystyle A_{i}=\{i,-i\}}$ pro každé ${\displaystyle i\in I}$. Potom množiny ${\displaystyle A_{i}}$ jsou po dvou disjunktní.
• Buď ${\displaystyle I=\mathbb {N} }$ indexová množina a ${\displaystyle A_{i}=\{i,i+1\}}$ pro každé ${\displaystyle i\in I}$. Potom množiny ${\displaystyle A_{i}}$ nejsou po dvou disjunktní.
• Prázdná množina je disjunktní s každou množinou.

Související články

• Disjunktní sjednocení
• Dichotomie

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu disjunktní množiny na Wikimedia Commons