Limitní ordinál

Ordinální číslo

Limitní ordinál je ordinální číslo, které nemá předchůdce a není prázdné.

Definice

Ordinální číslo α {\displaystyle \alpha \,\!} je limitní, pokud
α ≠ 0 ∧ ( ∀ β ∈ O n ) ( β ∪ { β } ≠ α ) {\displaystyle \alpha \neq 0\land (\forall \beta \in On)(\beta \cup \{\beta \}\neq \alpha )}
On zde označuje třídu všech ordinálních čísel.

Příklady

Množina ω {\displaystyle \omega \,\!} všech přirozených čísel je limitní - každý menší ordinál je konečný a nemůže být předchůdcem ω {\displaystyle \omega \,\!} ve smyslu výše uvedené definice.

Podobně množina ω + ω = { 0 , 1 , 2 , … , ω , ω + 1 , ω + 2 , … } {\displaystyle \omega +\omega =\{0,1,2,\ldots ,\omega ,\omega +1,\omega +2,\ldots \}\,\!} je limitní.

Naproti tomu ordinály 0 , 1 , 7 , 13 , ω + 1 , ω . ω + ω + 15 {\displaystyle 0,1,7,13,\omega +1,\omega .\omega +\omega +15\,\!} nejsou limitní. 0 není limitní z definice a ostatní mají předchůdce 0 , 6 , 12 , ω , ω . ω + ω + 14 {\displaystyle 0,6,12,\omega ,\omega .\omega +\omega +14\,\!} . Takovým ordinálům říkáme izolované.

Použití

Rozdělení ordinálních čísel na limitní a izolovaná se často používá v důkazech transfinitní indukcí a v konstrukcích transfinitní rekurzí, kde je prováděn zvláštní krok (z předchůdce na následníka) pro izolovaný ordinál a zvláštní krok (z množiny všech menších ordinálů na jejich supremum) pro limitní ordinál.

Limitní ordinály mají některé zajímavé vlastnosti, které nemají izolované ordinály:

Související články