Rungeova–Kuttova metoda je metoda pro numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic, kterou kolem roku 1900 vytvořili němečtí matematici Carl Runge a Wilhelm Kutta, případně některá z podobných metod (společně jsou zvané Rungeovy–Kuttovy metody).
Rungeova–Kuttova metoda hledá přibližné řešení rovnice
s okrajovou podmínkou
Přitom
je neznámá skalární nebo vektorová funkce času
, kterou chceme aproximovat. Známe funkci
, propojující časovou derivaci
s hodnotou
a časem
a známe také počáteční čas
a odpovídající hodnotu
v tomto čase, která je
.
K odhadu
klasickou Rungeovou–Kuttovou metodou (též označovanou RK4) je nejprve potřeba zvolit vhodný krok h > 0. Na jeho základě definujeme
![{\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{\tfrac {1}{6}}\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right),\\t_{n+1}&=t_{n}+h\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95bdbb2e3aa83735085c0aadd577162c69e4056a)
pro n = 0, 1, 2, 3, ..., přičemž
![{\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=h\ f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=h\ f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {k_{1}}{2}}\right),\\k_{3}&=h\ f\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {k_{2}}{2}}\right),\\k_{4}&=h\ f\left(t_{n}+h,y_{n}+k_{3}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81398071e8f180ac143bfdf4598ff47bf79eb689)
Číslo
je aproximace hodnoty
. Aproximace se počítají jako vážené průměry čtyř jednodušších odhadů
až
. Zdůvodnění tohoto postupu vychází ze Simpsonova pravidla pro integrál rovnice za předpokladu, že
nezávisí na
.
Popsaná metoda dosahuje v jednom kroku chyby v řádu
a celkově akumulované chyby v řádu
[1] Neuvažujeme-li vliv zaokrouhlovacích chyb, tak menší krok obvykle vede k přesnějšímu odhadu, avšak za cenu více počítání.
Reference
- ↑ CHAPRA, Steven C.; CANALE, Raymond P. Numerical methods for engineers. 7. ed. vyd. New York, NY: McGraw-Hill Education, 2015. 970 s. Dostupné online. ISBN 978-0-07-339792-4.
Externí odkazy
Obrázky, zvuky či videa k tématu Rungeova–Kuttova metoda na Wikimedia Commons