Hilbert-Schmidt-Operator

In der Mathematik ist ein Hilbert-Schmidt-Operator (nach David Hilbert und Erhard Schmidt) ein stetiger linearer Operator auf einem Hilbertraum, für den eine gewisse Zahl, die Hilbert-Schmidt-Norm, endlich ist. Die Hilbert-Schmidt-Klasse, das heißt die Menge all dieser Operatoren, bildet mit der Hilbert-Schmidt-Norm eine Banachalgebra, die gleichzeitig ein Hilbertraum ist. Hilbert-Schmidt-Operatoren können durch unendlich-dimensionale Matrizen charakterisiert werden.

Seien ${\displaystyle (e_{i})_{i}}$ und ${\displaystyle (f_{i})_{i}}$ zwei Orthonormalbasen im Hilbertraum ${\displaystyle H}$. ${\displaystyle A}$ sei ein stetiger linearer Operator auf ${\displaystyle H}$. Dann gilt

${\displaystyle \sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}\,=\,\sum _{i,k}|\langle Ae_{i},f_{k}\rangle |^{2}\,=\,\sum _{i,k}|\langle e_{i},A^{*}f_{k}\rangle |^{2}\,=\,\sum _{k}\|A^{*}f_{k}\|^{2}}$.

Indem man zwei gleiche Orthonormalbasen, ${\displaystyle (e_{i})_{i}\,=\,(f_{i})_{i}}$, verwendet, zeigt diese Rechnung, dass die linke Seite unverändert bleibt, wenn man ${\displaystyle A}$ durch ${\displaystyle A^{*}}$ ersetzt. Das gilt dann auch für die rechte Seite. Ersetzt man dort ${\displaystyle A}$ durch ${\displaystyle A^{*}}$ bei unterschiedlichen Orthonormalbasen und beachtet ${\displaystyle A^{**}=A}$, so erkennt man, dass die Größe ${\displaystyle \textstyle \sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}}$ unabhängig von der gewählten Orthonormalbasis ist. Ist diese Größe endlich, so heißt ${\displaystyle A}$ ein Hilbert-Schmidt-Operator und

${\displaystyle \|A\|_{2}:=\left(\sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}\right)^{\frac {1}{2}}}$

ist seine Hilbert-Schmidt-Norm. Statt ${\displaystyle \|A\|_{2}}$ findet man auch die Schreibweise ${\displaystyle \|A\|_{HS}}$.

Die Hilbert-Schmidt-Klasse, das heißt die Menge aller Hilbert-Schmidt-Operatoren auf ${\displaystyle H}$, ist hinsichtlich der algebraischen Operationen Addition, Multiplikation und dem Adjungieren abgeschlossen. Sie ist also eine Algebra und wird mit ${\displaystyle HS(H)}$ bezeichnet.

Ein Operator ${\displaystyle A\colon H_{1}\rightarrow H_{2}}$ zwischen zwei Hilberträumen heißt Hilbert-Schmidt-Operator, wenn ${\displaystyle \textstyle \sum _{i}\|Ae_{i}\|^{2}}$ für eine Orthonormalbasis ${\displaystyle (e_{i})_{i}}$ von ${\displaystyle H_{1}}$ endlich ist. Ähnlich wie oben überlegt man sich, dass diese Zahl von der speziellen Wahl der Orthonormalbasis unabhängig ist, und bezeichnet die Wurzel aus dieser Zahl ebenfalls mit ${\displaystyle \|A\|_{HS}}$.

Legt man eine Orthonormalbasis fest, so kann man jeden stetigen linearen Operator auf ${\displaystyle H}$ als unendliche Matrix ${\displaystyle (a_{i,j})_{i,j}}$ mit ${\displaystyle a_{i,j}=\langle Ae_{j},e_{i}\rangle }$ auffassen. ${\displaystyle A}$ ist durch diese Matrix und die gewählte Orthonormalbasis eindeutig bestimmt, denn ${\displaystyle Ae_{i}}$ wird auf ${\displaystyle \textstyle \sum _{j}\langle Ae_{i},e_{j}\rangle e_{j}}$ abgebildet. Es gilt ${\displaystyle \textstyle \sum _{i,j}|a_{i,j}|^{2}\,=\,\|A\|_{2}^{2}}$. Daher sind die Hilbert-Schmidt-Operatoren genau diejenigen stetigen, linearen Operatoren, deren Matrixkoeffizienten quadratisch summierbar sind. Mit Hilfe der Hölder-Ungleichung ergibt sich die Submultiplikativität der Hilbert-Schmidt-Norm, das heißt ${\displaystyle \textstyle \|AB\|_{2}\leq \|A\|_{2}\|B\|_{2}}$. Die Hilbert-Schmidt-Norm verallgemeinert daher die Frobeniusnorm auf den Fall unendlich-dimensionaler Hilberträume.

Viele fredholmsche Integraloperatoren sind Hilbert-Schmidt-Operatoren. Sei nämlich ${\displaystyle T\in L(L^{2}([0,1]),L^{2}([0,1]))}$ ein beschränkter Operator von ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ nach ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$, dann kann gezeigt werden, dass ${\displaystyle T}$ genau dann ein Hilbert-Schmidt-Operator ist, wenn es einen Integralkern ${\displaystyle k\in L^{2}([0,1]\times [0,1])}$ gibt mit

${\displaystyle T(x)(s)=\int _{0}^{1}k(s,t)x(t)\mathrm {d} t}$

fast überall. In diesem Fall stimmen die Hilbert-Schmidt-Norm von ${\displaystyle T}$ und die ${\displaystyle L^{2}}$-Norm von ${\displaystyle k}$ überein, es gilt also

${\displaystyle \|T\|_{HS}=\left(\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}|k(s,t)|^{2}\mathrm {d} s\mathrm {d} t\right)^{\frac {1}{2}}=\|k\|_{L^{2}}.}$

Eine analoge Aussage gilt auch für beliebige Maßräume anstatt des Einheitsintervalls.

Das Produkt zweier Hilbert-Schmidt-Operatoren ist stets ein Spurklasse-Operator. Sind ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ zwei Hilbert-Schmidt-Operatoren, so ist daher durch ${\displaystyle \langle A,B\rangle :=Sp(B^{*}A)}$ ein Skalarprodukt auf dem Raum der Hilbert-Schmidt-Operatoren definiert. ${\displaystyle HS(H)}$ wird mit diesem Skalarprodukt ein Hilbertraum und es ist ${\displaystyle \|A\|_{2}={\sqrt {\langle A,A\rangle }}}$, d. h. die Hilbert-Schmidt-Norm ist eine Hilbertraumnorm. Im endlichdimensionalen Fall entspricht dieses Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt dem Frobenius-Skalarprodukt für Matrizen.

Die Operatoren-Algebra ${\displaystyle HS(H)}$ ist mit der Hilbert-Schmidt-Norm nicht nur ein Hilbertraum, sondern wegen der Ungleichung ${\displaystyle \|AB\|_{2}\leq \|A\|_{2}\|B\|_{2}}$ gleichzeitig eine Banachalgebra. ${\displaystyle HS(H)}$ ist ein zweiseitiges Ideal in der Algebra ${\displaystyle B(H)}$ aller stetigen, linearen Operatoren auf H, und es gilt ${\displaystyle \|BAC\|_{2}\leq \|B\|\cdot \|A\|_{2}\cdot \|C\|}$ für alle ${\displaystyle A\in HS(H)}$, ${\displaystyle B,C\in B(H)}$. Jeder Hilbert-Schmidt-Operator ist ein kompakter Operator. Daher ist ${\displaystyle HS(H)}$ auch ein zweiseitiges Ideal in der C^*-Algebra ${\displaystyle K(H)}$ der kompakten Operatoren auf ${\displaystyle H}$, ${\displaystyle HS(H)}$ liegt dabei dicht in ${\displaystyle K(H)}$ bzgl. der Operatornorm. Die Spurklasse ${\displaystyle N(H)}$ ist als zweiseitiges, dichtes Ideal in ${\displaystyle HS(H)}$ enthalten. Man hat daher die Inklusionen

${\displaystyle N(H)\subset HS(H)\subset K(H)\subset B(H)}$.

Außer ${\displaystyle \{0\}}$ und sich selbst enthält ${\displaystyle HS(H)}$ keine weiteren ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$-abgeschlossenen zweiseitigen Ideale. Die Algebra der Hilbert-Schmidt-Operatoren ist in diesem Sinne einfach, sie bildet den Grundbaustein der Strukturtheorie der H^*-Algebren.

• Die Hilbert-Schmidt-Operatoren bilden einen Spezialfall einer Schatten-Klasse.

• R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983