Ordinal sucesor

En teoría de conjuntos, el sucesor de un número ordinal α es el número ordinal más pequeño por encima de α. Todo ordinal no nulo es o bien sucesor de otro (un ordinal sucesor) o bien un ordinal límite.

Propiedades

Todo ordinal distinto de 0 es o bien un ordinal sucesor o bien un ordinal límite.^[1]​

En el modelo de Von Neumann

Usando la construcción de los números ordinales de von Neumann (el modelo estándar que se usa en teoría de conjuntos), el sucesor S(α) de un ordinal α viene dado por la siguiente fórmula:^[1]​

${\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}.}$

Como el orden de los ordinales viene dado por α < β si y solo si α ∈ β, es inmediato que no hay número ordinal entre α y S (α), y también es claro que α < S(a).

Suma de ordinales

La operación sucesor se puede usar para definir la suma de ordinales rigurosamente mediante inducción transfinita de la siguiente forma:

${\displaystyle \alpha +0=\alpha \!}$

${\displaystyle \alpha +S(\beta )=S(\alpha +\beta )}$

y para un ordinal límite λ

${\displaystyle \alpha +\lambda =\bigcup _{\beta <\lambda }(\alpha +\beta )}$

En particular, S(α) = α + 1. Nótese que, por lo general, ${\displaystyle 1+\alpha \neq S(\alpha )}$ (la suma de ordinales no es conmutativa); de hecho esto solo ocurre para ordinales finitos, siendo ${\displaystyle 1+\alpha =\alpha }$ para ordinales infinitos.

La multiplicación y la exponenciación se definen de manera similar.

Topología

Los puntos sucesores y el cero son los puntos aislados de la clase de los números ordinales con la topología de orden.^[2]​

Véase también

• Aritmética ordinal
• Ordinal límite
• Sucesor
• Cardinal sucesor

Referencias