Identiteettifunktio

Identiteettifunktio eli identtinen kuvaus on matematiikassa funktio, joka kuvaa jokaisen lähtöjoukkonsa alkion itsekseen, eli funktio ${\displaystyle f(x)=x}$ eli ${\displaystyle x\mapsto x}$. Sille käytetään muun muassa merkintöjä ${\displaystyle Id(x)}$ tai ${\displaystyle I(x)}$. ^[1]

Muodollinen määritelmä: Olkoon ${\displaystyle A}$ joukko. Funktio ${\displaystyle Id:A\rightarrow A}$ on identiteettifunktio, jos kaikilla joukkoon ${\displaystyle A}$ kuuluvilla alkioilla ${\displaystyle x}$ on voimassa ${\displaystyle Id(x)=x}$.

Identiteettifunktio on lineaarinen funktio, koska

${\displaystyle Id(x)=x=1\cdot x+0}$

ja monotonisena funktiona aidosti kasvava funktio. Se on erikoistapaus ensimmäisen asteen potenssifunktiosta, jos kerroin on yksi

${\displaystyle Id(x)=x=1\cdot x^{1}}$.

Identiteettifunktio on neutraalialkio yhdistetyn funktion operaattorille. Siis ${\displaystyle Id\circ f=f\circ Id=f}$, kun ${\displaystyle f}$ on mikä tahansa funktio, olettaen, että niiden lähtö- ja maalijoukot ovat yhteensopivat.

Yhdistetty funktio itsensä kanssa on identiteettifunktio itse^[2]:

${\displaystyle Id\circ Id=Id}$

• MathWorld. Identity Function