Rollen lause

Rollen lause on erikoistapaus differentiaalilaskennan Cauchyn väliarvolauseesta, jonka todistuksessa Rollen lausetta hyödynnetään. Lauseen julkaisi ensimmäisenä Michel Rolle vuonna 1691.

Rollen lauseen mukaan suljetulla välillä ${\displaystyle [a,b]}$ jatkuvan ja avoimella välillä ${\displaystyle (a,b)}$ derivoituvan funktion derivaatta saa arvon ${\displaystyle 0}$ jossain avoimen välin ${\displaystyle (a,b)}$ pisteessä ${\displaystyle c}$, mikäli funktio saa saman arvon suljetun välin ${\displaystyle [a,b]}$ päätepisteissä ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$. ^[1] Tämä voidaan ilmaista formaalisti muodossa

${\displaystyle f(a)=f(b)\quad \Longrightarrow \quad \exists \ c\in (a,b):f'(c)=0.}$

Oletuksen nojalla funktio ${\displaystyle f}$ on jatkuva välillä ${\displaystyle [a,b]}$, joten Weierstrassin lauseen mukaan se saa suurimman ja pienimmän arvonsa tällä välillä. Jos suurin ja pienin arvo saavutetaan välin päätepisteissä ${\displaystyle a}$ ja ${\displaystyle b}$, niin kyseessä on vakiofunktio ja derivaatta ${\displaystyle f'(x)=0}$ jokaisessa välin pisteessä.

Oletetaan sitten, että kyseessä ei ole vakiofunktio ja maksimi saavutetaan välin ${\displaystyle (a,b)}$ pisteessä ${\displaystyle x}$. Osoitetaan, että tässä pisteessä ${\displaystyle f'(x)=0}$. Käsitellään erikseen vasemman- ja oikeanpuoleiset derivaatat.

(i) Käsitellään ensin vasemmanpuoleiset derivaatat. Jos ${\displaystyle y<x}$, niin erotusosamäärälle on voimassa epäyhtälö

${\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\geq 0,}$

sillä osoittaja on positiivinen tai 0, koska ${\displaystyle f(x)}$ on funktion suurin arvo. Samoin nimittäjä on positiivinen, koska ${\displaystyle x-y>0}$. Siten myös erotusosamäärän raja-arvolle eli derivaatalle pätee epäyhtälö

${\displaystyle \lim _{y\to x}{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\geq 0.}$

Tämä perustuu siihen, että funktio ${\displaystyle f}$ on derivoituva, jolloin sekä vasemman- että oikeanpuoleiset derivaatat ovat olemassa.

(ii) Käsitellään sitten oikeanpuoleiset derivaatat. Jos ${\displaystyle y>x}$, niin erotusosamäärälle on voimassa epäyhtälö

${\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\leq 0,}$

sillä osoittaja on positiivinen tai 0, koska ${\displaystyle f(x)}$ on funktion suurin arvo, ja nimittäjä on negatiivinen, koska ${\displaystyle x-y<0}$. Funktion derivaatta toteuttaa nyt epäyhtälön

${\displaystyle \lim _{y\to x}{\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\leq 0.}$

(iii) Koska funktio ${\displaystyle f}$ on derivoituva pisteessä ${\displaystyle x}$, niin erotusosamäärän vasemman- ja oikeanpuoleisten raja-arvojen tulee olla yhtäsuuret. Yhtäsuuruus toteutuu vain, kun sekä kohdan (i) että kohdan (ii) raja-arvot ovat nollia. Tästä päätellään, että

${\displaystyle f'(x)=0.}$

Kun merkitään ${\displaystyle c=x}$, niin todistus on päätöksessään. ${\displaystyle \scriptstyle \square }$

• Jatkuvien funktioiden väliarvolause

Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Rollen lause.