Congruences de Kummer

En mathématiques, les congruences de Kummer sont des congruences impliquant les nombres de Bernoulli, trouvées par Ernst Eduard Kummer en 1851 .

Kubota & Leopoldt (1964) ont utilisé les congruences de Kummer afin de définir la fonction zêta p-adique.

Enoncé

La forme la plus simple de la congruence de Kummer est la suivante :

B h h ≡ B k k ( mod p )  si  h ≡ k ( mod p − 1 ) {\displaystyle {\frac {B_{h}}{h}}\equiv {\frac {B_{k}}{k}}{\pmod {p}}{\text{ si }}h\equiv k{\pmod {p-1}}}

où p est un nombre premier, h et k sont des entiers positifs pairs n'étant pas divisible par p−1 le nombre Bh le h-ième nombre de Bernoulli.

Plus généralement, si h et k sont des entiers positifs pairs non divisible par p − 1, alors

( 1 − p h − 1 ) B h h ≡ ( 1 − p k − 1 ) B k k ( mod p a + 1 ) {\displaystyle (1-p^{h-1}){\frac {B_{h}}{h}}\equiv (1-p^{k-1}){\frac {B_{k}}{k}}{\pmod {p^{a+1}}}}

dès que

h ≡ k ( mod φ ( p a + 1 ) ) {\displaystyle h\equiv k{\pmod {\varphi (p^{a+1})}}}

où φ(pa+1) est l'indicatrice d'Euler, évaluée en pa+1 avec a un entier positif. Si a = 0, on retrouve la première expression. Les deux côtés de l'égalité peuvent être interprétés comme des valeurs de la fonction zêta p-adique, les congruences de Kummer impliquant que la fonction zêta p-adique est continue sur les entiers négatifs, et peut donc être prolongée par continuité à tous les entiers p-adiques.

Article connexe

Références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kummer's congruence » (voir la liste des auteurs).
  • Neal Koblitz, p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Berlin, New York, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics, vol. 58 », (ISBN 978-0-387-96017-3, MR 754003)
  • Tomio Kubota et Heinrich-Wolfgang Leopoldt, « Eine p-adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 214/215,‎ , p. 328–339 (ISSN 0075-4102, DOI 10.1515/crll.1964.214-215.328, MR 0163900, lire en ligne)
  • Ernst Eduard Kummer, « Über eine allgemeine Eigenschaft der rationalen Entwicklungscoëfficienten einer bestimmten Gattung analytischer Functionen », Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, vol. 41,‎ , p. 368–372 (ISSN 0075-4102, DOI 10.1515/crll.1851.41.368, lire en ligne)
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