Normális szám

Normális szám a k pozitív egész számhoz viszonyítva olyan valós szám, amelynek k-adostört (pl. tizedestört) alakjának számjegyei a végtelenségig véletlenszerűen váltakoznak. A racionális számok e laza megfogalmazás szerint nem tűnnek normálisnak, hiszen számjegyeik vagy végtelen sok nullával fejeződnek be, vagy egy megadott mintázat szerint ismétlődnek a végtelenségig.

A véletlenszerűség követelménye

A pontos definíció megadásához először tisztázni kell, hogy mit értsünk azon, hogy a számjegyek véletlenszerűek egy számban. Józan ésszel is belátható, hogy egy szám számjegyeit nem tekinthetjük véletlenszerűeknek azon az alapon, hogy egyenlő gyakorisággal fordulnak elő. Például: 0,123456789*0123456789* szabványos tizedestört alakban az a szám, amelyben a 0123456789 sorozat végtelen sokszor ismétlődik. A számjegyek egyenlő eloszlással szerepelnek, de nyilván nem véletlenszerűen követik egymást. Vegyünk most egy ${\displaystyle k}$ hosszúságú mintázatot. Ilyen mintázatot ${\displaystyle 10^{k}}$ félét lehet alkotni a tízes számrendszerben. Ha ezek a mintázatok ${\displaystyle 1}$/${\displaystyle 10^{k}}$ relatív gyakorisággal találtatnak a szám számjegyei között és ez bármely mintázatra és bármely ${\displaystyle k}$-ra igaz, akkor legalábbis a tízes számrendszert tekintve a számjegyek előfordulását véletlenszerűnek tekinthetjük. Ha ez minden számrendszerben igaz egy adott számra, akkor ezt a számot normális számnak nevezzük.

A normális szám definíciója

A pontos matematikai definíció a következő. Írjuk fel az ${\displaystyle x}$ számot a ${\displaystyle b}$ alapú számrendszerben és legyen ${\displaystyle s_{k}}$ egy a ${\displaystyle b}$ alapú számrendszer számjegyeiből alkotott ${\displaystyle k}$ hosszúságú mintázat (string). Fussunk végig az ${\displaystyle x}$ első ${\displaystyle n}$ számjegyén és jelölje ${\displaystyle N_{b}(s_{k},n)}$ az ${\displaystyle s_{k}}$ string előfordulásainak számát. Az ${\displaystyle x}$ számot a ${\displaystyle b}$ alapra nézve normálisnak nevezzük, ha minden ${\displaystyle k}$-ra és ${\displaystyle s_{k}}$-ra

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {N_{b}(s_{k},n)}{n}}={\frac {1}{b^{k}}}}$

${\displaystyle x}$ normális, ha minden ${\displaystyle b}$ alapra nézve normális.

Rövid történeti áttekintés

A normális szám fogalmát Émile Borel 1909-ben vezette be. A Borel-Cantelli lemma segítségével bebizonyította, hogy (mértékelméleti értelemben) „majdnem minden valós szám normális”; azaz a nem normális számok halmazának Lebesgue-mértéke 0. Wacław Sierpiński lengyel matematikus mutatott először konkrét példát normális számra.

A Copeland-Erdős szám

Példaként a 10-es számrendszerben normális számra álljon itt a Copeland–Erdős-konstans:

0,235711131719232931374143…

mely a prímszámok egymásutáni leírásával adódik.

Források

Bailey, D. H. and Crandall, R. E. "On the Random Character of Fundamental Constant Expansions." Experimental Mathematics 10, 175-190, 2001. online verzió