Fungsi indikator

Dalam matematika, sebuah fungsi indikator atau sebuah fungsi karakteristik adalah sebuah fungsi didefinisikan pada sebuah himpunan ${\displaystyle X}$ yang mengindikasikan keanggotaan unsur dalam sebuah himpunan bagian ${\displaystyle A}$ dari ${\displaystyle X}$, memiliki nilai 1 untuk semua unsur ${\displaystyle X}$ di ${\displaystyle A}$ dan nilai 0 untuk semua unsur ${\displaystyle X}$ bukan di ${\displaystyle A}$. Ini biasanya dilambangkan oleh sebuah simbol 1 atau ${\displaystyle I}$, terkadang dalam huruf tebal atau huruf tebal papan tulis, dengan sebuah subskrip menentukan himpunan bagian.

Dalam konteks lainnya, seperti ilmu komputer, ini akan lebih sering digambarkan sebagai fungsi predikat boole (untuk menguji inklusi himpunan).

Fungsi Dirichlet adalah sebuah contoh fungsi indikator dan merupakan indikator dari rasional.

Definisi

Fungsi indikator himpunan bagian ${\displaystyle A}$ dari sebuah himpunan ${\displaystyle X}$ adalah sebuah fungsi

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon X\to \{0,1\}}$

didefinisikan sebagai

${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1~&{\text{ if }}~x\in A~,\\0~&{\text{ if }}~x\notin A~.\end{cases}}}$

Tanda kurung Iverson menyediakan notasi setara, ${\displaystyle [x\in A]}$ atau ⧙ x ϵ A ⧘, untuk digunakan sebagai ganti dari ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(x)}$.

Fungsi ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ terkadang dilambangkan ${\displaystyle I_{A}}$, ${\displaystyle \chi _{A}}$, ${\displaystyle K_{A}}$ atau bahkan hanya ${\displaystyle A}$.^[a][b]

Notasi dan terminologi

Notasi ${\displaystyle \chi _{A}}$ juga digunakan untuk melambangkan fungsi karakteristik dalam analisis cembung, yang didefinisikan seakan-akan menggunakan timbal balik dari definisi standar dari fungsi indikator.

Sebuah konsep yang berkaitan dalam statistik adalah bahwa peubah rekaan. (Ini tidak boleh bingung dengan "peubah rekaan" karena istilah tersebut biasanya digunakan dalam matematika, disebut juga sebuah peubah batas.)

Istilah "fungsi karakteristik" memiliki sebuah arti yang tidak berkaitan dalam teori probabilitas klasik. Untuk alasan ini, probabilitas tradisional menggunakan istilah fungsi indikator untuk fungsi didefinisikan disini hampir secara eksklusif, sementara para matematikawan dalam bidang lainnya lebih suka menggunakan istilah fungsi karakteristik^[a] untuk menggambarkan fungsi yang mengindikasikan keanggotaan dalam sebuah himpunan.

Dalam logika kabur dan logika bernilai banyak modern, predikatnya adalah fungsi karakteristik sebaran probabilitas. Yaitu, penilaian benar/salah yang teliti dari predikat digantikan oleh sebuah kuantitas diinterpretasi sebagai derajat kebenaran.

Sifat-sifat dasar

Fungsi indikator atau karakteristik dari sebuah himpunan bagian ${\displaystyle A}$ dari beberapa himpunan ${\displaystyle X}$ memetakan unsur ${\displaystyle X}$ ke kisaran ${\displaystyle \{0,1\}}$.

Pemetaan ini surjektif hanya ketika ${\displaystyle A}$ adalah sebuah himpunan bagian wajar takkosong dari ${\displaystyle X}$. Jika ${\displaystyle A\equiv X}$, maka ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}=1}$. Dengan sebuah argumen yang serupa, jika ${\displaystyle A\equiv \varnothing }$ maka ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}=0}$.

Dalam berikut ini, titik mewakili perkalian, ${\displaystyle 1\cdot 1=1}$, ${\displaystyle 1\cdot 0=0}$, dst. "${\displaystyle +}$" dan "${\displaystyle -}$" mewakili penambahan dan pengurangan. "${\displaystyle \cap }$" dan "${\displaystyle \cup }$" adalah irisan dan gabungan, masing-masing.

Jika ${\displaystyle A}$ dan ${\displaystyle B}$ adalah dua himpunan bagian ${\displaystyle X}$, maka

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\cap B}=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B}}$,

${\displaystyle \mathbf {1} _{A\cup B}=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B}}$,

dan fungsi indikator dari komplemen ${\displaystyle A}$ yaitu ${\displaystyle A^{C}}$ adalah:

${\displaystyle \mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}}$.

Lebih umumnya, andaikan ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}}$ adalah sebuah kumpulan himpunan bagian ${\displaystyle X}$. Untuk suatu ${\displaystyle x\in X}$:

${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))}$

jelas sebuah darab 0 dan 1. Darab ini memiliki nilai 1 pada tepatnya ${\displaystyle x\in X}$ yang tidak menjadi miliki himpunan ${\displaystyle A_{k}}$ dan adalah 0 jika tidak. Yaitu

${\displaystyle \prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}}$.

Memperluas darab pada ruas sebelah kiri,

${\displaystyle \mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}}$

dimana ${\displaystyle \left|F\right|}$ adalah kekardinalan ${\displaystyle F}$^{[perlu dijelaskan]}. Ini adalah salah satu bentuk dari prunsip inklusi-eksklusi.

Seperti yang disarankan oleh contoh sebelumnya, fungsi indikator adalah sebuah alat notasional yang berguna dalam kombinatorika. Notasinya digunakan dalam tempat lainnya juga, misalnya dalam teori probabilitas. Jika ${\displaystyle X}$ adalah ruang probabilitas dengan ukuran probabilitas ${\displaystyle \operatorname {P} }$ dan ${\displaystyle A}$ adalah sebuah himpunan terukurkan, maka ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}}$ menjadi sebuah peubah acak yang nilai harapannya sama dengan probabilitas dari ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,d\operatorname {P} =\int _{A}d\operatorname {P} =\operatorname {P} (A)}$

Identitas ini digunakan dalam sebuah bukti sederhana pertidaksamaan Markov.

Dalam banyak kasus, seperti teori tatanan, invers dari fungsi indikator dapat didefinisikan. Ini biasanya disebut fungsi Möbius rampat, sebagai sebuah perampatan dari balikan fungsi indikator dalam teori bilangan elementer, fungsi Möbius. (Lihat paragraf di bawah mengenai penggunaan balikan dalam teori rekursi klasik.)

Purata, ragam, dan peragam

Diberikan sebuah ruang probabilitas ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ dengan ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$, peubah acak indikator ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ didefinisikan oleh ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=1}$ jika ${\displaystyle \omega \in A}$, jika tidak ${\displaystyle \mathbf {1} _{A}(\omega )=0}$.

Purata

${\displaystyle \operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)}$

Ragam

${\displaystyle \operatorname {Var} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)(1-\operatorname {P} (A))}$

Peragam

${\displaystyle \operatorname {Cov} (\mathbf {1} _{A}(\omega ),\mathbf {1} _{B}(\omega ))=\operatorname {P} (A\cap B)-\operatorname {P} (A)\operatorname {P} (B)}$

Fungsi karakteristik dalam teori rekursi, fungsi wakilan Gödel's dan Kleene

Kurt Gödel menjelaskan fungsi wakilan dalam makalahnya tahun 1934 berjudul "On undecidable propositions of formal mathematical systems":

"Mereka seharusnya berpadanan untuk setiap kelas atau relasi ${\displaystyle R}$, sebuah fungsi wakilan ${\displaystyle \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})=0}$ jika ${\displaystyle R(x_{1},\dots ,x_{n})}$ dan ${\displaystyle \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})=1}$ jika ${\displaystyle \neg R(x_{1},\dots ,x_{n})}$."^{[1](hlm. 42)} ("${\displaystyle \neg }$" mengindikasikan balikan logis, yaitu "BUKAN")

Kleene (1952)^[2] menawarkan definisi yang sama dalam konteks dari fungsi rekursif primitif sebagai sebuah fungsi ${\displaystyle \varphi }$ predikat ${\displaystyle \operatorname {P} }$ mengambil nilai 0 jika predikatnya benar dan 1 jika predikatnya palsu.

Contohnya, karena darab fungsi karakteristik ${\displaystyle \varphi _{1}\varphi _{2}\dots \varphi _{n}=0}$ setiap kali salah satu dari fungsi sama dengan 0, ini memainkan peran logis OR: JIKA ${\displaystyle \varphi _{1}=0\operatorname {OR} \varphi _{2}=0\operatorname {OR} \cdots \operatorname {OR} \varphi _{n}=0}$ MAKA darabnya adalah 0. Apa yang muncul ke pembaca modern mewakili fungsi balikan logis, yaitu, mewakili fungsi adalah 0 ketika fungsi ${\displaystyle R}$ adalah "benar" atau terpenuhi", memainkan sebuah peran yang berguna dalam definisi Kleene dari fungsi logis operator mu ${\displaystyle \operatorname {OR} }$, ${\displaystyle \operatorname {AND} }$, dan ${\displaystyle \operatorname {IMPLY} }$ (hlm. 228), -terbatas (hlm. 228) dan takterbatas (hlm. 279 ff) (Kleene (1952)) dan fungsi KASUS (hlm. 229).

Fungsi karakteristik dalam teori himpunan kabur

Dalam matematika klasik, fungsi karakteristik mengenai himpunan hanya mengambil nilai 1 (anggota) atau 0 (bukan anggota). Dalam teori himpunan kabur, fungsi karakteristik rampat dengan mengambil nilai dalam selang satuan real ${\displaystyle [0,1]}$, atau lebih umumnya, dalam beberapa aljabar atau struktur (biasanya dibutuhkan setidaknya sebuah himpunan terurut parsial atau kekisi). Seperti fungsi karakteristik rampat lebih biasanya disebut fungsi keanggotaan, dan "himpunan" padanan disebut himpunan kabur. Himpunan kabur memodelkan perubahan bertahap dalam derajat keanggotaan dilihat dalam banyak predikat dunia nyata seperti "tinggi", "hangat", dst.

Turunan dari fungsi indikator

Sebuah fungsi indikator khusus adalah fungsi langkah Heaviside. Fungsi tangga Heaviside ${\displaystyle H(x)}$ adalah fungsi indikator dari garis setengah positif berdimensi satu, yaitu, ranah ${\displaystyle [0,\infty )}$. Turunan sebaran dari fungsi tangga Heaviside adalah sama dengan fungsi delta Dirac, yaitu.

${\displaystyle \delta (x)={\frac {\mathrm {d} H(x)}{\mathrm {d} x}}}$,

dengan sifat berikut:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x)dx=f(0)}$.

Turunan dari fungsi tangga Heaviside dapat dilihat sebagai turunan normal ke dalam pada batas dari ranah diberikan oleh setengah garis positif. Dalam dimensi lebih tinggi, turunan secara alami merampat dengan turunan normal ke dalam, sementara fungsi tangga Heaviside secara alami merampat ke fungsi indikator mengenai suatu domain ${\displaystyle D}$. Permukaan ${\displaystyle D}$ akan dilambangkan oleh ${\displaystyle S}$. Dengan melanjutkan, ini dapat diturunkan bahwa turunan normal ke dalam dari indikator memunculkan sebuah 'fungsi delta permukaan', yang dapat diindikasikan oleh ${\displaystyle \delta _{S}(x)}$:

${\displaystyle \delta _{S}(\mathbf {x} )=-\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}}$

dimana ${\displaystyle n}$ adalah normal ke luar dari permukaan ${\displaystyle S}$. 'Fungsi delta permukaan' ini memiliki sifat berikut:

${\displaystyle -\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}\;d^{n}\mathbf {x} =\oint _{S}\,f(\mathbf {\beta } )\;d^{n-1}\mathbf {\beta } }$.

Dengan menetapkan fungsi ${\displaystyle f}$ sama dengan satu, ini mengikuti bahwa turunan normal ke dalam dari indikator mengintegralkan ke nilai numerik ke luas permukaan ${\displaystyle S}$.

Lihat pula

• Ukuran Dirac
• Laplace dari indikator
• Fungsi delta Dirac
• Perluasan (logika predikat)
• Peubah bebas dan peubah rekaan
• Fungsi tangga Heaviside
• Tanda kurung Iverson
• Delta Kronecker, sebuah fungsi yang dapat dipandang sebagai sebuah indikator untuk relasi identitas
• Tanda kurung Macaulay
• Multihimpunan
• Fungsi keanggotaan
• Fungsi sederhana
• Peubah rekaan (statistik)
• Klasifikasi statistika
• Fungsi kerugian nol-satu

Catatan

Referensi

1. ^ Davis, Martin, ed. (1965). The Undecidable. New York, NY: Raven Press Books. hlm. 41–74. 
2. ^ Kleene, Stephen (1971) [1952]. Introduction to Metamathematics (edisi ke-Sixth reprint, with corrections). Netherlands: Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company. hlm. 227. 

Sumber

• Folland, G.B. (1999). Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications (edisi ke-Second). John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-31716-6. 
• Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001). "Section 5.2: Indicator random variables". Introduction to Algorithms (edisi ke-Second). MIT Press and McGraw-Hill. hlm. 94–99. ISBN 978-0-262-03293-3. 
• Davis, Martin, ed. (1965). The Undecidable. New York, NY: Raven Press Books. 
• Kleene, Stephen (1971) [1952]. Introduction to Metamathematics (edisi ke-Sixth reprint, with corrections). Netherlands: Wolters-Noordhoff Publishing and North Holland Publishing Company. 
• Boolos, George; Burgess, John P.; Jeffrey, Richard C. (2002). Computability and Logic. Cambridge UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-00758-0. 
• Zadeh, Lotfi A. (June 1965). "Fuzzy sets" (PDF). Information and Control. 8 (3): 338–353. doi:10.1016/S0019-9958(65)90241-X. Diarsipkan dari versi asli (PDF) tanggal 2007-06-22.  Parameter |url-status= yang tidak diketahui akan diabaikan (bantuan)
• Goguen, Joseph (1967). "L-fuzzy sets". Journal of Mathematical Analysis and Applications. 18 (1): 145–174. doi:10.1016/0022-247X(67)90189-8. hdl:10338.dmlcz/103980 .