Operator logika

Dalam logika, operator logika atau perangkai logika merupakan simbol logika yang dipakai untuk menghubungkan rumus-rumus logika. Sebagai contoh, dalam sintaks logika proposisional, operasi biner ${\displaystyle \lor }$ dapat dipakai untuk menggabungkan dua rumus atomik ${\displaystyle P}$ dan ${\displaystyle Q}$, memberikan rumus kompleks ${\displaystyle P\lor Q}$.

Operator logika pada umumnya meliputi negasi, disjungsi, konjungsi, implikasi dan kesetaraan . Dalam sistem logika klasik yang standar, operator-operator tersebut dipandang sebagai fungsi kebenaran, yakni fungsi yang menerima suatu nilai kebenaran (benar atau salah) dan menghasilkan nilai kebenaran yang baru. Sedangkan dalam logika non-klasik ada beberapa interpretasi berbeda terkait definisi dari operator-operator tersebut. Interpretasi klasik dari setiap operator tersebut mirip dengan ungkapan "tidak", "atau", "dan", dan "jika" dalam bahasa alami seperti Bahasa Indonesia, walau tidak identik.

Pendahuluan

Dalam bahasa formal, fungsi-fungsi kebenaran dinyatakan lewat simbol-simbol yang tak ambigu. Hal ini memungkinkan pernyataan logika dapat dipahami dalam cara yang tidak ambigu. Simbol-simbol ini selanjutnya disebut operator logika atau perangkai logika.

Operator logika dapat digunakan untuk menghubungkan nol atau lebih pernyataan-pernyataan, memungkinkan seorang membahas operator logika n-ary. Konstanta Boolean Benar dan Salah dapat dianggap sebagai operator 0-ary, negasi sebagai operator 1-ary, dan seterusnya.

Daftar operator logika yang umum

Berikut adalah daftar beberapa operator logika yang umum, simbol, dan popularitasnya:^[1]

• Negasi (tidak): ${\displaystyle \neg }$, ${\displaystyle \sim }$, ${\displaystyle N}$ (prefiks), dengan ${\displaystyle \neg }$ adalah bentuk yang paling modern dan umum digunakan, dan ${\displaystyle \sim }$ masih digunakan oleh banyak orang;

• Konjungsi (dan): ${\displaystyle \wedge }$, ${\displaystyle \&}$, ${\displaystyle K}$ (prefiks), dengan ${\displaystyle \wedge }$ adalah bentuk yang paling modern dan umum digunakan;
• Disjungsi (atau): ${\displaystyle \vee }$, ${\displaystyle A}$ (prefiks), dengan ${\displaystyle \vee }$ adalah bentuk yang paling modern dan umum digunakan;
• Implikasi (jika...maka...): ${\displaystyle \to }$, ${\displaystyle \supset }$, ${\displaystyle \Rightarrow }$, ${\displaystyle C}$ (prefiks), dengan ${\displaystyle \to }$ adalah bentuk yang paling modern dan umum digunakan, dan ${\displaystyle \supset }$ masih digunakan oleh banyak orang;
• Kesetaraan (jika dan hanya jika): ${\displaystyle \leftrightarrow }$, ${\displaystyle \subset \!\!\!\supset }$, ${\displaystyle \Leftrightarrow }$, ${\displaystyle \equiv }$, ${\displaystyle E}$ (prefiks), dengan ${\displaystyle \leftrightarrow }$ adalah bentuk yang paling modern dan umum digunakan, dan ${\displaystyle \subset \!\!\!\supset }$ dapat menjadi pasangan yang cocok ketika menggunakan simbol implikasi ${\displaystyle \supset }$, seperti ${\displaystyle \leftrightarrow }$ ketika menggunakan ${\displaystyle \to }$.

Makna hubungan [antar] pernyataan dapat berubah ketika dibubuhi operator-operator tersebut. Sebagai contoh, pernyataan hari ini hujan (disimbolkan dengan ${\displaystyle p}$) dan saya ada di dalam ruangan (disimbolkan dengan ${\displaystyle q}$) dapat berubah menjadi:

• Hari ini tidak hujan (${\displaystyle \neg p}$);
• Hari ini hujan dan saya ada di dalam ruangan (${\displaystyle p\wedge q}$);
• Hari ini hujan atau saya ada di dalam ruangan (${\displaystyle p\lor q}$);
• Jika hari ini hujan, maka saya ada di dalam ruangan (${\displaystyle p\rightarrow q}$);
• Jika saya ada di dalam ruangan, maka hari ini hujan (${\displaystyle q\rightarrow p}$);
• Saya ada di dalam ruangan jika dan hanya jika hari ini hujan (${\displaystyle p\leftrightarrow q}$);

Pernyataan yang selalu benar dan pernyataan yang selalu salah juga umum dianggap sebagai sebagai sebuah operator:

• Benar, disimbolkan dengan ${\displaystyle \top }$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle V}$ (prefiks), atau ${\displaystyle \mathrm {T} }$;
• Salah, disimbolkan dengan ${\displaystyle \bot }$, ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle O}$ (prefiks), atau ${\displaystyle \mathrm {F} }$

Sejarah dari notasi yang digunakan

• Negasi: Simbol ${\displaystyle \neg }$ digunakan oleh Heyting di tahun 1930^[2][3] (mirip dengan simbol ⫟ dalam Begriffsschrift oleh Frege^[4]). Sedangkan simbol ${\displaystyle \sim }$ muncul dalam publikasi oleh Russell tahun 1908.^[5] Alternatif notasi negasi lainnya dilakukan dengan menambahkan garis horizontal di atas rumus (pernyataan) yang bersangkutan, seperti ${\displaystyle {\overline {p}}}$, atau dengan menggunakan tanda petik, seperti ${\displaystyle p'}$.
• Konjungsi: Simbol ${\displaystyle \wedge }$ digunakan oleh Heyting di tahun 1930^[2] (mirip dengan simbol irisan ${\displaystyle \cap }$ Peano dalam teori himpunan^[6]). Simbol ${\displaystyle \&}$ setidaknya sudah digunakan sejak Schönfinkel di tahun 1924,^[7] sedangkan simbol ${\displaystyle \cdot }$ berasal dari interpretasi oleh Boole yang mengganggap logika sebagai aljabar elementer.

Referensi

1. ^ Chao, C. (2023). 数理逻辑：形式化方法的应用 [Mathematical Logic: Applications of the Formalization Method] (dalam bahasa Chinese). Beijing: Preprint. hlm. 15–28. Pemeliharaan CS1: Bahasa yang tidak diketahui (link)
2. ^ ^{a b} Heyting, A. (1930). "Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik". Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse (dalam bahasa German): 42–56. Pemeliharaan CS1: Bahasa yang tidak diketahui (link)
3. ^ Denis Roegel (2002), A brief survey of 20th century logical notations (see chart on page 2).
4. ^ Frege, G. (1879). Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle a/S.: Verlag von Louis Nebert. hlm. 10. 
5. ^ Russell (1908) Mathematical logic as based on the theory of types (American Journal of Mathematics 30, p222–262, also in From Frege to Gödel edited by van Heijenoort).
6. ^ Peano (1889) Arithmetices principia, nova methodo exposita.
7. ^ Schönfinkel (1924) Über die Bausteine der mathematischen Logik, translated as On the building blocks of mathematical logic in From Frege to Gödel edited by van Heijenoort.