Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Convergenza (disambigua). Questa voce o sezione sull'argomento matematica non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti.
In matematica, la convergenza è la proprietà di una certa funzione o successione di possedere un limite finito di qualche tipo, al tendere della variabile (o dell'indice eventualmente) verso certi valori in un punto o all'infinito. Il concetto si applica dunque a vari campi della matematica, tutti in qualche modo collegati ma con interpretazioni leggermente diverse.
Limite di una funzione
Lo stesso argomento in dettaglio: Limite (matematica). Data una funzione continua
, si dice che
converge (o tende) al limite finito
per
che tende ad
se per ogni
esiste un
tale che per ogni
che soddisfa
si ha che
. Ovvero:
![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86b3785589764f6c9bcaa1c3018e5004559bee72)
Analogamente, si dice che
converge al limite finito
per
che tende a infinito se per ogni
esiste un
tale che per ogni
soddisfacente la condizione
si ha che
. Ovvero:
![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=l.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/251f7dc031bebe8a866facf1f22fa53213bca70e)
Convergenza di una successione in una dimensione
La convergenza di una successione numerica
di numeri reali si verifica quando per
, a partire da un certo indice in poi tutti i termini della successione si trovino nell'intorno di un punto, detto limite della successione.
Matematicamente questo si esprime dicendo che una successione
converge al numero a per
, e si scrive
, se
esiste un indice naturale
, in generale dipendente da
, tale che la
per ogni
.
Questo garantisce che tutti i termini della successione, caratterizzati da
, siano contenuti nell'intorno
. Una successione convergente è necessariamente limitata.
Convergenza delle serie
Lo stesso argomento in dettaglio: Serie, Serie convergente e Criteri di convergenza. Si consideri una successione di elementi
. Si definisce serie associata ad
la somma:
.
Per ogni indice
della successione, si definisce serie delle somme parziali
associata a
la somma dei termini della successione
da
a
:
![{\displaystyle S_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots +a_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10a069bc4fd33c8f4564f7fabafe64a2f11c8d09)
Si dice che la serie
è convergente al limite
se la relativa successione delle somme parziali
converge a
. Ovvero, si verifica che:
![{\displaystyle L=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/081e59e0f451e9e377fba74fc3e2c1f9c44af961)
se e solo se:
![{\displaystyle L=\lim _{k\rightarrow \infty }S_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b7078a681765f9ea53e077813cd096dde46d21f)
Il limite sopra enunciato si dice somma della serie, ed esprime il carattere della serie.
Teorema della convergenza
Formalmente il concetto di convergenza di una successione è simile a quello delle funzioni
. Data una successione di numeri reali
che converge a un certo limite
per
, si ha:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=\lim _{x\to \xi }f(x)=\eta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1148e1976f25707405cab8779f722d021f57b77e)
In modo equivalente, per ogni
esiste un intorno
, in generale dipendente da
, tale che:
![{\displaystyle \|f(x)-\eta \|<\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9299ebbd172ecd1d81f3b33c1065ec31870ee29d)
qualora si verifichi:
![{\displaystyle \|x-\xi \|<\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18c5b1042833ea4e79030fdb09dc621e38517523)
Questo garantisce che, come i termini della successione sono contenuti nell'intorno di
, allo stesso modo tutti i valori della funzione sono contenuti nell'intorno:
![{\displaystyle \eta -\varepsilon <f(x)<\eta +\varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1522acba93e3762f858827cab7b9fc4aaf8ac5)
Ogni funzione convergente è quindi necessariamente limitata, e questo implica anche il concetto di continuità di una funzione.
Enunciato
Si supponga di avere una funzione
tale che
con α appartenente a un certo intervallo
. Si può porre:
![{\displaystyle x=x-g(x)f(x)=\phi (x)\qquad g(x)\neq 0\quad \forall x\in J}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/141897e044ca93888f1d2d551b979919fe77e26e)
Si ha dunque:
![{\displaystyle \phi (\alpha )=\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c281bec68730b1ac4f6b73e54f01b6d42beeac7)
Se esiste
tale che:
![{\displaystyle [\alpha -\delta ,\alpha +\delta ]=J\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/129b4b36cfd2d8b0a9cd37572daaf2659007870a)
e se esiste
tale che:
![{\displaystyle \forall x\in J,|\phi '(x)|\leq k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbae62a92574ea91a1413083123aade833c919fd)
allora si ha:
- Se
allora:
![{\displaystyle x_{i}=\phi (x_{i-1})\quad i=1,2,3,\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4562e3a5ee14cfabf078f45cf4b587e8a0e0b592)
![{\displaystyle \lim _{i\to \infty }x_{i}=\alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b246108e75ebbe2f8cd4184e63e11db30ea6bd0)
è l'unica radice in ![{\displaystyle J}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359e4f407b49910e02c27c2f52e87a36cd74c053)
Dimostrazione
Premesso che:
![{\displaystyle x_{0}\in J\qquad |x_{0}-\alpha |\leq \delta \qquad \xi \in J}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e747c3fe20e64fd9f681b4acc026ac519027c1c)
si ha:
![{\displaystyle |\alpha |\leq |x_{0}-\alpha |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e971214940fefac8ce18efcfc6501599222f35)
Oltre ad avere:
![{\displaystyle x_{1}\in (x_{0},\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12d9a4db27c336dfc5c2221e72ed3894c51276da)
si verifica che:
![{\displaystyle x_{i}\in (x_{i-1},\alpha )\quad i\in \mathbb {N} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a16960104d94e6bee70e005d231b200d31f9fd6)
Si ottiene:
![{\displaystyle |x_{i}-\alpha |=|\phi (x_{i-1})-\phi (\alpha )|=|\phi '(\xi )(x_{i-1}-\alpha )|\leq k|x_{0}-\alpha |\leq k^{2}|x_{i-2}-\alpha |\leq ....\leq k^{i}|x_{0}-\alpha |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0356d353b475ab191687a0d0e017522ee77d2462)
Poiché
tende a zero quando i tende a infinito, la successione converge.
Si ponga per assurdo che nell'intervallo vi sia β, radice della funzione diversa da α. Si ha:
![{\displaystyle |\beta -\alpha |=|\phi (\beta )-\phi (\alpha )|=|\phi (\xi )(\beta -\alpha )|\leq k|\beta -\alpha |\leq |\beta -\alpha |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/871c2f49a398a6843a391e430d74631f3c1e8465)
Il fatto che:
![{\displaystyle |\beta -\alpha |\leq |\beta -\alpha |}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/126b15007bb5b2772128861715bc3cd266991e71)
è assurdo, e quindi α è l'unica radice dell'intervallo.
Convergenza delle successioni e serie di funzioni
Lo stesso argomento in dettaglio: Successione di funzioni e Serie di funzioni. Per le successioni
vi sono le seguenti tipologie di convergenza:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c09a555d8ad4045fb1a4c7bd568a93ca2afe35a)
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df3c4b82d5204221f0a190084f88c8fa05c11453)
Per le serie di funzioni
vi sono le seguenti tipologie di convergenza:
- La convergenza puntuale si verifica se la serie numerica
converge per ogni
. - La convergenza uniforme si verifica se la successione delle somme parziali converge uniformemente.
- La convergenza totale si verifica se esiste una serie numerica
convergente tale che:
![{\displaystyle |f_{n}(x)|\leq M_{n}\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c5bac924aea714ed8e4901e89bab7cca7a77780)
- per ogni
e
.
Convergenza di variabili casuali
Data una successione di variabili casuali
, vi sono più tipi di convergenza:
- La convergenza in distribuzione:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }F_{n}(x)=F(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/732e5a10862bfd7c3d470e681f53f4cd11070a15)
- dove
e
sono le funzioni di ripartizione delle
e del limite
rispettivamente.
- La convergenza in probabilità:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(|X_{n}-X|<\varepsilon )=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ccea2cabee65487840ecc1bde479f2ecab469e8)
- La convergenza quasi certa:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }X_{n}=X}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4fb1c9142208588617ee8d55f94b3f02f27d7b0)
- La convergenza in media r-esima:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }E|X_{n}-X|^{r}=0\qquad E|X_{n}|^{r}<\infty \quad \forall n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f1654dc2b695ad4e0837b4a3ed50c9ed6490dd)
Voci correlate
Collegamenti esterni
Controllo di autorità | Thesaurus BNCF 70438 · LCCN (EN) sh85031692 · BNF (FR) cb11936381k (data) · J9U (EN, HE) 987007557815405171 |
---|
Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica