Dominio d'integrità

In algebra, un dominio d'integrità è un anello commutativo con unità tale che ${\displaystyle 0\neq 1}$ in cui il prodotto di due qualsiasi elementi non nulli è un elemento non nullo. I domini di integrità sono estensioni degli interi e forniscono un insieme naturale per lo studio della divisibilità.

In altre parole, un dominio d'integrità è un anello commutativo privo di divisori dello zero. Più precisamente l'anello ${\displaystyle (A;+,\cdot )}$ è un dominio d'integrità se valgono le seguenti condizioni:

La seconda legge viene detta legge di annullamento del prodotto. Equivalentemente, un dominio di integrità può essere definito come un anello commutativo in cui l'ideale nullo ${\displaystyle \{0\}}$ è primo, o come sottoanello di un qualche campo.

La condizione che ${\displaystyle 0\neq 1}$ serve all'unico scopo di escludere l'anello banale ${\displaystyle \{0\}}$ con un solo elemento.

Esempi

Domini d'integrità

• L'esempio tipico è l'anello ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ degli interi.
• Ogni campo è un dominio di integrità. Viceversa, ogni dominio di integrità artiniano è un campo. In particolare, gli unici domini di integrità finiti sono i campi finiti.
• L'anello ${\displaystyle D[x]}$ dei polinomi in ${\displaystyle x}$ a coefficienti in un dominio di integrità ${\displaystyle D}$ è anch'esso un dominio di integrità. Per esempio, l'anello ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ dei polinomi a coefficienti interi è un dominio d'integrità; così come l'anello ${\displaystyle \mathbb {R} [x,y]}$ dei polinomi in due variabili a coefficienti reali.
• L'insieme di tutti i numeri reali della forma ${\displaystyle a+b{\sqrt {2}}}$ con ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ interi è un sottoanello di ${\displaystyle \mathbb {R} }$ e quindi un dominio d'integrità. Un esempio simile è dato dal sottoanello dei numeri complessi della forma ${\displaystyle a+bi}$ con ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ interi (gli interi gaussiani).
• Gli interi p-adici.
• Se ${\displaystyle U}$ è un sottoinsieme aperto connesso del piano complesso ${\displaystyle \mathbb {C} }$, allora l'anello ${\displaystyle H(U)}$ delle funzioni olomorfe ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ è un dominio d'integrità.
• Se ${\displaystyle A}$ è un anello commutativo e ${\displaystyle P}$ è un ideale in ${\displaystyle A}$, allora l'anello quoziente ${\displaystyle A/P}$ è un dominio d'integrità se e solo se ${\displaystyle P}$ è un ideale primo.

Anelli che non sono domini d'integrità

• Il gruppo ciclico finito con ${\displaystyle n}$ elementi ha anche una ovvia struttura di anello commutativo. Se ${\displaystyle n}$ è un numero primo, questo anello è un campo, e quindi anche un dominio di integrità. Se invece ${\displaystyle n}$ non è primo, l'anello non è un dominio di integrità. Infatti: poiché ${\displaystyle n}$ non è primo esistono ${\displaystyle a<n}$ e ${\displaystyle b<n}$ tali che ${\displaystyle n=ab}$, e tale uguaglianza nel gruppo diventa ${\displaystyle 0=ab}$, con ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ diversi da zero.
• Un anello non commutativo non è un dominio di integrità. Ad esempio, l'anello delle matrici ${\displaystyle n\times n}$ generalmente non è commutativo.

Campo delle frazioni

Lo stesso argomento in dettaglio: Campo dei quozienti.

Se ${\displaystyle A}$ è un dominio d'integrità, il più piccolo campo ${\displaystyle \mathrm {Quot} (A)}$ che contiene ${\displaystyle A}$ come sottoanello è unicamente determinato a meno di isomorfismi ed è chiamato campo delle frazioni o campo quoziente di ${\displaystyle A}$.

Il campo quoziente può essere costruito esplicitamente, quozientando l'insieme delle coppie del prodotto cartesiano di ${\displaystyle A}$, scritte nella forma ${\displaystyle a/b}$, con ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle b\neq 0}$, tramite la relazione di equivalenza ${\displaystyle a/b\sim c/d}$ se e solo se ${\displaystyle ad=bc}$ e munendolo delle operazioni

${\displaystyle a/b+c/d=(ad+bc)/bd}$

${\displaystyle (a/b)(c/d)=ac/bd}$.

Il campo delle frazioni degli interi è il campo dei numeri razionali: in questo caso la relazione di equivalenza è quella solita, per cui ${\displaystyle 4/3}$ e ${\displaystyle 8/6}$ sono in verità lo stesso numero razionale. Il campo delle frazioni di un campo è il campo stesso.

Altre proprietà

Sia ${\displaystyle A}$ un dominio d'integrità.

• Se ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle x}$ sono due elementi di ${\displaystyle A}$ tali che ${\displaystyle ax=a}$ e ${\displaystyle a}$ è diverso da zero, allora "si può semplificare" anche se ${\displaystyle a}$ non è invertibile, e ottenere ${\displaystyle x=1}$: infatti abbiamo ${\displaystyle a(x-1)=0}$ e quindi ${\displaystyle x=1}$ perché ${\displaystyle A}$ è un dominio d'integrità.
• La caratteristica di ${\displaystyle A}$ è zero o un numero primo.
• Se ${\displaystyle A}$ ha caratteristica prima ${\displaystyle p}$, allora ${\displaystyle f(x)=x^{p}}$ definisce un omomorfismo fra anelli iniettivo ${\displaystyle f\colon A\to A}$, detto omomorfismo di Frobenius.

Divisibilità, elementi primi e irriducibili

Lo stesso argomento in dettaglio: Fattorizzazione (teoria degli anelli).

In un anello qualsiasi si possono estendere i concetti di divisibilità e di numero primo presenti in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$: in un anello commutativo le definizioni risultano però molto più semplici, e in un dominio di integrità il rapporto fra gli elementi e l'operazione di prodotto risulta essere più vicino a quanto accade in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$.

Divisibilità

Se ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono elementi di un anello commutativo ${\displaystyle A}$, diciamo che ${\displaystyle a}$ divide ${\displaystyle b}$ o ${\displaystyle a}$ è un divisore di ${\displaystyle b}$ o ${\displaystyle b}$ è un multiplo di ${\displaystyle a}$ se e solo se esiste un elemento ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle A}$ tale che ${\displaystyle ax=b}$. In questo caso scriviamo ${\displaystyle a|b}$. Abbiamo le seguenti proprietà:

• se ${\displaystyle a|b}$ e ${\displaystyle b|c}$, allora ${\displaystyle a|c}$;
• se ${\displaystyle a}$ divide ${\displaystyle b}$, allora ${\displaystyle a}$ divide ogni multiplo di ${\displaystyle b}$;
• se ${\displaystyle a}$ divide due elementi, allora ${\displaystyle a}$ divide anche la loro somma e la loro differenza.

Gli elementi che dividono ${\displaystyle 1}$ sono le unità di ${\displaystyle A}$, e sono precisamente gli elementi invertibili di ${\displaystyle A}$. Le unità dividono ogni altro elemento.

Se ${\displaystyle a|b}$ e ${\displaystyle b|a}$, allora diciamo che ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono elementi associati; ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono associati se e solo se esiste un'unità ${\displaystyle u}$ tale che ${\displaystyle au=b}$.

Elementi primi e irriducibili

Nel tentativo di estendere una definizione di numero primo da ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ad un anello commutativo ${\displaystyle A}$ qualsiasi, si nota subito che due definizioni equivalenti in ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ possono non esserlo più in generale. Per questo motivo definiamo due concetti distinti, parlando di elementi irriducibili e primi.

• Un elemento ${\displaystyle a}$ di ${\displaystyle A}$ è irriducibile se non è un'unità e non può essere scritto come prodotto di due non-unità.
• Un elemento ${\displaystyle p}$ che non sia un'unità e diverso da zero di ${\displaystyle A}$ è primo se ${\displaystyle p|ab}$ implica ${\displaystyle p|a}$ oppure ${\displaystyle p|b}$, per ogni ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ in ${\displaystyle A}$.

Le due definizioni coincidono su ${\displaystyle \mathbb {Z} }$: un numero ${\displaystyle n}$ è irriducibile (o primo) se e solo se ${\displaystyle n}$ oppure ${\displaystyle -n}$ è un numero primo.

Se ${\displaystyle A}$ è un dominio d'integrità, un elemento primo è sempre irriducibile. Supponiamo infatti che ${\displaystyle p=ab}$ dove ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ sono elementi di ${\displaystyle A}$. Allora ${\displaystyle p}$ divide ${\displaystyle ab}$. Quindi ${\displaystyle p|a}$ oppure ${\displaystyle p|b}$ perché ${\displaystyle p}$ è primo. Supponiamo ${\displaystyle p|a}$, cioè ${\displaystyle a=pq}$. Quindi ${\displaystyle p=pqb}$, ovvero ${\displaystyle p(1-qb)=0}$. Poiché ${\displaystyle A}$ è un dominio di integrità e ${\displaystyle p}$ non è lo zero, abbiamo ${\displaystyle qb=1}$ e quindi ${\displaystyle b}$ è un'unità. Quindi ${\displaystyle p}$ è irriducibile.

In generale, un elemento irriducibile può non essere primo. Se ${\displaystyle A}$ è un dominio a fattorizzazione unica i due concetti sono equivalenti.

Bibliografia

• Michael Artin: Algebra, Bollati Boringhieri, 1997, ISBN 8833955869

Altri progetti

• Wikibooks contiene testi o manuali su dominio d'integrità

Collegamenti esterni

• (EN) integral domain, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Dominio d'integrità, su MathWorld, Wolfram Research.

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