In analisi funzionale, uno spazio di Besov
è uno spazio metrico completo quasinormato che è uno spazio di Banach quando
e
. Sotto opportune ipotesi gli spazi di Besov sono equivalenti a spazi di interpolazione intermedi tra spazi di Sobolev.[1] Nello specifico, sia:
![{\displaystyle \Delta _{h}f(x)=f(x-h)-f(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9327f37c47f7fec0f03ec864cbb65b1036d8ebb7)
una differenza finita e si consideri il modulo di continuità:
![{\displaystyle \omega _{p}^{2}(f,t)=\sup _{|h|\leq t}\left\|\Delta _{h}^{2}f\right\|_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a24c2e1befe5ed9139338ed9c36608457ddc625f)
Se n è un numero intero non negativo, definendo
con
, lo spazio di Besov
contiene tutte le funzioni
tali che:
![{\displaystyle f\in W^{n,p}(\mathbb {R} )\qquad \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}<\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06ccae21792a976565661b8960dd2f508554d88d)
dove
è uno spazio di Sobolev.
Nello spazio di Besov
è definita la norma:
![{\displaystyle \left\|f\right\|_{B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )}=\left(\|f\|_{W^{n,p}(\mathbf {R} )}^{q}+\int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\omega _{p}^{2}\left(f^{(n)},t\right)}{t^{\alpha }}}\right|^{q}{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d222faf9223fbe761541ffcb48c9095ad5ca0b8c)
Lo spazio
coincide con il classico spazio di Sobolev
.
Differenze finite e moduli di continuità
La differenza finita di ordine m e passo h applicata a
è definita nel seguente modo:
![{\displaystyle \Delta _{h}^{m}f(x)=\sum _{k=0}^{m}{\binom {m}{k}}(-1)^{m-k}f(x+kh)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb9753b656669a63550472265f3cf40a702ce6b)
Da cui il modulo di continuità di ordine m di
in Lp è definito da:
![{\displaystyle \omega _{p}^{m}(f,t)=\sup _{|h|\leq t}\|\Delta _{h}^{m}f\|_{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d912deafe72ee04a0b0df84d7cd3bcc3d617ca9)
Siano
un dominio,
e
. Si ponga inoltre
. Lo spazio di Besov:
![{\displaystyle B_{p,q}^{s}(\Omega ):=B_{p}^{s,q}(\Omega ):=B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ee1133b289789a0277cd83d03ac3ddce46e2d5)
è l'insieme delle funzioni in
tali che la quasi-seminorma:
![{\displaystyle |f|_{B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega ))}={\begin{cases}\left(\int _{0}^{\infty }[t^{-s}\omega _{p}^{m}(f,t)]^{q}{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}\quad &0<q<\infty \\\sup _{t\in (0,\infty )}t^{-s}\omega _{p}^{m}(f,t)&q=\infty \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5bb60432f25e4a98b7230be93eeddd6cdb1def)
è finita. In simboli:
![{\displaystyle B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega )):=\{f\in L^{p}{\mbox{ t.c. }}|f|_{B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega ))}<\infty \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8fc5ffe8d6c64e0559da5dc09cb3ac8ae37cec9)
Norma
Questo spazio è munito della norma:
![{\displaystyle \|f\|_{B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega ))}=\|f\|_{L^{p}}+|f|_{B_{q}^{s}(L^{p}(\Omega ))}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f09d56dd56ceea70c597bef876e99e2aedfcdff4)
Inclusioni
Fra gli spazi di Besov valgono le seguenti inclusioni:
![{\displaystyle B_{q_{1}}^{s}(L^{p}(\Omega ))\subset B_{q_{2}}^{s}(L^{p}(\Omega ))\qquad q_{1}<q_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe44260ef67bed9fe877f7ecf1232ddfbc17e3d)
Per quanto riguarda
, talvolta detto spazio di Zygmund (
)[2], si hanno le seguenti inclusioni:
![{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0,1}({\overline {\Omega }})\subset B_{\infty }^{1}({\mathcal {C}}^{0}({\overline {\Omega }}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72b24e9bdff7086d1860a57553bb6932d3737fa7)
dove l'uguaglianza vale per
.
Interpolazione
Siano
un dominio lipschitziano,
e
. Allora il funzionale di Peetre K è equivalente a meno di costanti al modulo di continuità di ordine m di
in Lp:
![{\displaystyle K(f,t^{m};L^{p}(\Omega ),W^{m}(L^{p}(\Omega )))\approx \omega _{p}^{m}(f,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/26be8789f54f3778c8344060e6db2e9ce9c8a449)
Quindi gli spazi che interpolano
e
sono spazi di Besov:
![{\displaystyle (L^{p}(\Omega ),W^{m}(L^{p}(\Omega )))_{\theta ,q}=B_{q}^{\theta m}(L^{p}(\Omega ))\qquad \forall \,\theta \in (0,1)\quad \forall \,q\in (0,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b796f8e6b287828acede474ca7baea65c39ab5d)
Note
- ^ (EN) Eric W. Weisstein, Spazio di Besov, in MathWorld, Wolfram Research.
- ^ DeVore, R. "Nonlinear Approximation", Acta Numerica (1998), pag. 92.
Bibliografia
- (EN) Bergh, J. and Löfström, J. Interpolation Spaces. New York: Springer-Verlag, 1976.
- (EN) Peetre, J. New Thoughts on Besov Spaces. Durham, NC: Duke University Press, 1976.
- (EN) Petrushev, P. P. and Popov, V. A. "Besov Spaces." §7.2 in Rational Approximation of Real Functions. New York: Cambridge University Press, pp. 201-203, 1987.
- (EN) Triebel, H. Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators. New York: Wiley, 1998.
Voci correlate
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