トレミーの定理(トレミーのていり、英: Ptolemy's Theorem)とは、円に内接する四角形 ABCD において、辺の長さに関する等式:
![{\displaystyle AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot DC}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75a44b3a9561a12e78bbb523049c7a1ad094a61)
が成り立つという幾何学の定理。トレミーは古代ローマの天文学者クラウディオス・プトレマイオスの姓プトレマイオスの英語表記Ptolemyの音訳である。プトレマイオスの定理とも呼ばれる[1]。
トレミーの定理を一般化したオイラーの定理(オイラーのていり)とは、必ずしも円に内接しない四角形 ABCD において、辺の長さに関するトレミーの不等式(英: Ptolemy's inequality):
![{\displaystyle AC\cdot BD\leqq AD\cdot BC+AB\cdot DC}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d985a52f33bd6bca88fc4ccebef756be56473f)
が成り立つという幾何学の定理のことである[2]。逆に、必ずしも同一平面上にない4点 A, B, C, D に関して、辺の長さに関する等式:
![{\displaystyle AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot DC}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75a44b3a9561a12e78bbb523049c7a1ad094a61)
が成り立つならば、4点 A, B, C, D は同一直線上にあるか、または同一平面上にあり、かつ四角形 ABCD は同一の円に内接する[3]。
証明
計算の便宜をはかり、a = AD, b = AB, c = BC, d = DC とおくことにする。また、A = ∠A = ∠DAB, B = ∠B = ∠ABC, C = ∠C = ∠BCD, D = ∠D = ∠CDA のこととする。
余弦定理および内接四角形の性質より、
、 ![{\displaystyle BD^{2}=c^{2}+d^{2}-2cd\cos C=c^{2}+d^{2}+2cd\cos A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bbf87428e565e6ef49bb546109e4522e512d692)
が成り立つ。ここから cos A を消去して、
![{\displaystyle (ab+cd)BD^{2}=(ad+bc)(ac+bd)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb66ccd377e6465ab670766a3ad4463a7cf8c64c)
を得る。また AC について同様にして
![{\displaystyle (ad+bc)AC^{2}=(ab+cd)(ac+bd)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28983ab2787bd4d3c4951ab18764b449153a361f)
となるから、2 式を掛けて
![{\displaystyle (ab+cd)(bc+ad)AC^{2}\cdot BD^{2}=(ac+bd)^{2}(ad+bc)(ab+cd)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced9bd490f8633fb89459cb9e2b39c43ca2490f4)
を得る。これを整理すれば、
![{\displaystyle AC\cdot BD=ac+bd}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8f7ec555149e8684ddd1b565609c25ab749e126)
となる。すなわち、
![{\displaystyle AC\cdot BD=AD\cdot BC+AB\cdot DC}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d75a44b3a9561a12e78bbb523049c7a1ad094a61)
が示された。
円に関する反転を用いた証明
円に関する反転を用いた証明 Dを中心とする適当な円
に関する反転 によってABCDの外接円が直線に移されるようにする。 このとき
が成り立つ。 このとき、一般性を失わずに
の半径を1と置くことができる。 このとき
はそれぞれ以下のように表される。
![{\displaystyle {\frac {AB}{DA\cdot DB}},{\frac {BC}{DB\cdot DC}},{\frac {AC}{DA\cdot DC}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ace6a91e45011001ba3388803279ef846b34e538)
この式の両辺に
をかけて最初の式に代入するとトレミーの定理が得られる。
一般化
一般化にケイシーの定理がある。
脚注
[脚注の使い方]
- ^ デジタル大辞泉. “プトレマイオスの定理”. コトバンク. 2019年9月15日閲覧。
- ^ 中村文則. “トレミーを散りばめる”. 数学のいずみ. 2019年9月15日閲覧。
- ^ 高木 1996, 3 複素数
参考文献
- 高木貞治『復刻版 近世数学史談・数学雑談』共立出版、1996年12月10日。ISBN 978-4-320-01551-7。
関連項目
外部リンク
- 『トレミーの定理』 - コトバンク
- 『プトレマイオスの定理』 - コトバンク
- 『トレミーの定理とその3通りの証明,応用例』 - 高校数学の美しい物語
- トレミーを散りばめる (PDF)
- Weisstein, Eric W. "Ptolemy's Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).