バナッハ＝アラオグルの定理

各x ∈ Vに対しK_xをKのコピーとするとき、V^*上の＊弱位相は

${\displaystyle \alpha \in V^{*}\mapsto \alpha (x)\in K_{x}}$

を全て連続になるV^*上の最弱の位相であるので、

${\displaystyle K^{V}:=\prod _{x\in V}K_{x}}$

と定義すると、直積位相の定義より、＊弱位相は写像

${\displaystyle \mu ~\colon ~V^{*}\to K^{V},~~\alpha \mapsto (\alpha (x))_{x\in V}}$

を連続にする最弱の位相と一致する。すなわちμは中への同相写像である。したがってV^*の閉単位球B^*のコンパクト性を示すには、μ(B^*)のコンパクト性を示せば良い。

これを示すため、${\displaystyle K^{V}}$はVからKへの（線形とは限らない）写像全体の集合F(V, K)と自然に同一視できるという事実を使う：

${\displaystyle K^{V}\approx F(V,K)}$

両者が同一視できるのは以下の理由による。${\displaystyle K^{V}}$の任意の元${\displaystyle \nu =(\nu _{x})_{x\in V}}$から（線形とは限らない）写像${\displaystyle x\in V\mapsto \nu _{x}\in K}$を定める事ができ、逆にVからKへの(線形とは限らない)に${\displaystyle \zeta ~:~V\to K}$対して${\displaystyle (\zeta (x))_{x\in V}\in K^{V}}$が対応する。

上記の同一視を行った場合、${\displaystyle K^{V}}$の位相（直積位相）はF(V, K)の各点収束位相と一致する。

μ(B^*)のコンパクト性を示す為、${\displaystyle D_{x}\subset K_{x}}$を

${\displaystyle D_{x}=\{\xi \in K_{x}\mid |\xi |\leq \|x\|_{V}\}}$

により定義し、

${\displaystyle D^{V}:=\prod _{x\in V}D_{x}}$

すると、定義より

${\displaystyle \mu (B^{*})\subset D^{V}\subset K^{V}\approx F(V,K)}$

である。D_xはK_x=${\displaystyle \mathbb {R} }$ or ${\displaystyle \mathbb {C} }$の閉単位球なのでコンパクトである。よってチコノフの定理より、${\displaystyle D^{V}=\prod _{x\in V}D_{x}}$は${\displaystyle F(V,K)}$のコンパクト部分集合である。${\displaystyle F(V,K)}$は明らかにハウスドルフなので、コンパクトな集合${\displaystyle D^{V}}$の部分集合μ(B^*)がコンパクトである必要十分条件はμ(B^*)が閉集合な事である。

以上の事からB^*のコンパクト性を示すには、μ(B^*)が${\displaystyle D^{V}\subset F(V,K)}$で閉集合な事を示せば良い。これを示すためにμ(B^*)と${\displaystyle D^{V}}$の関係を調べる。${\displaystyle D^{V}}$を（線形とは限らない）写像の集合${\displaystyle F(V,K)}$の部分集合とみなしたとき、

${\displaystyle \nu \in D^{V}=\prod _{x\in V}D_{x}\iff \forall x\in V~:~|\nu (x)|\leq \|x\|_{V}\iff \sup _{x\in V\setminus \{0\}}{|\nu (x)| \over \|x\|_{V}}\leq 1{\text{ and }}\nu (0)=0}$

なので、作用素ノルム${\displaystyle \|\cdot \|_{V^{*}}}$の定義より、

${\displaystyle \mu (B^{*})={\bigg \{}\nu \in D^{V}{\bigg |}\nu }$は線形${\displaystyle {\bigg \}}}$

が従う。よってμ(B^*)が閉集合である事を示すには収束する任意の有向点族${\displaystyle (\alpha _{\lambda })_{\lambda \in \Lambda }\subset B^{*}}$に対し、その極限α_∞がα_∞ ∈ B_*を満たす事を示せばよい。そこでx, y ∈ V、a, b ∈ Kを任意に取ると、

${\displaystyle \alpha _{\infty }(ax+by)=(\lim _{\lambda \to \infty }\alpha _{\lambda })(ax+by){\underset {\text{(1)}}{=}}\mu _{ax+by}(\lim _{\lambda \to \infty }\alpha _{\lambda })}$${\displaystyle {\underset {\text{(2)}}{=}}\lim _{\lambda \to \infty }\mu _{ax+by}(\alpha _{\lambda }){\underset {\text{(3)}}{=}}a\lim _{\lambda \to \infty }\alpha _{\lambda }(x)+b\lim _{\lambda \to \infty }\alpha _{\lambda }(y)}$${\displaystyle =a\alpha _{\infty }(x)+b\alpha _{\infty }(y)}$

が成立する。ここで

• (1)は${\displaystyle \mu _{x}}$の定義から従う。
• (2)は＊弱位相が${\displaystyle (\mu _{x})_{x\in V}}$を全て連続にする最弱の位相である事から従う。
• (3)は${\displaystyle \mu _{x}}$の定義、およびKにおける和や定数倍の連続性から従う。

よってα_∞ ∈ B_*が示され、定理が証明された。

可分なノルム空間Vの共役空間V^*の閉単位球B^*は＊弱位相に関して距離化可能な事が知られており^[4]、距離化可能空間ではB^*のコンパクト性は点列コンパクト性と同値であるので、任意に点列${\displaystyle (\alpha _{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset B^{*}}$を選んで固定し、${\displaystyle (\alpha _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$がB^*内に収束する部分列を持つ事を示せば良い。

Vは可分なので、Vの稠密部分集合${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subset V}$が存在する。今、

${\displaystyle \alpha _{n}\in B^{*}\Rightarrow \|\alpha _{n}\|_{V^{*}}\leq 1\Rightarrow |\alpha _{n}(x_{i})|\leq |x_{i}|}$

が成立するので、各iに対し、数列${\displaystyle (\alpha _{n}(x_{i}))_{n\in \mathbb {N} }\subset K}$はK上有界であり、したがって収束部分列を持つ。

よって各iに対して順に${\displaystyle (\alpha _{n})_{n\in \mathbb {N} }}$の部分列を取っていくことで任意のiに対して${\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x_{i}))_{m\in \mathbb {N} }}$がm→∞に関して収束するような${\displaystyle (\alpha _{n_{m}})_{m\in \mathbb {N} }}$を選ぶ事ができる。

次に我々は、${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subset V}$がVで稠密な事を利用して、任意のx ∈ Vに対し${\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x))_{m\in \mathbb {N} }}$がコーシー列である事を示す。V^*は（Vが完備であるかどうかによらず）必ず完備なので、これにより${\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x))_{m\in \mathbb {N} }}$の収束性が従う。

そこでε>0とx ∈ Vを任意に固定すると、${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$はVの稠密性より、

${\displaystyle \|x-x_{i}\|\leq \varepsilon }$

を満たすx_iが存在する。よって任意のm、${\displaystyle \ell \in \mathbb {N} }$に対し、

${\displaystyle {\begin{aligned}&|\alpha _{n_{m}}(x)-\alpha _{n_{\ell }}(x)|\\&\leq |\alpha _{n_{m}}(x)-\alpha _{n_{m}}(x_{i})|+|\alpha _{n_{m}}(x_{i})-\alpha _{n_{\ell }}(x_{i})|+|\alpha _{n_{\ell }}(x_{i})-\alpha _{n_{\ell }}(x)|\\&\leq \|\alpha _{n_{m}}\|_{V^{*}}\|x_{i}-x\|_{V}+|\alpha _{n_{m}}(x_{i})-\alpha _{n_{\ell }}(x_{i})|+\|\alpha _{n_{\ell }}\|_{V^{*}}\|x_{i}-x\|_{V}\\&\leq |\alpha _{n_{m}}(x_{i})-\alpha _{n_{\ell }}(x_{i})|+2\varepsilon \end{aligned}}}$

が成立する。最後の不等式は${\displaystyle \alpha _{n_{m}},\alpha _{n_{\ell }}\in B^{*}}$と${\displaystyle \|x-x_{i}\|_{V}\leq \varepsilon }$を用いた。

各固定されたiに対し${\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x_{i}))_{m\in \mathbb {N} }}$は収束列であり、したがってコーシー列であるので、上記の事から、

${\displaystyle 0\leq {\overline {\lim }}_{m,\ell \to \infty }|\alpha _{n_{m}}(x)-\alpha _{n_{\ell }}(x)|\leq 2\varepsilon }$

が成立する。よってε>0の任意性より、

${\displaystyle \lim _{m,\ell \to \infty }|\alpha _{n_{m}}(x)-\alpha _{n_{\ell }}(x)|=0}$

が任意のx ∈ Vに対して成立する。よって任意のx ∈ Vに対し${\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x))_{m\in \mathbb {N} }}$はコーシー列であり、したがってV^*の完備性より収束列である。

最後に、

${\displaystyle \alpha ~:~V\to K}$

を、x ∈ Vに${\displaystyle (\alpha _{n_{m}}(x))_{m\in \mathbb {N} }}$の収束先を対応させる写像とする。この写像αがV^*の元であり、しかも${\displaystyle (\alpha _{n_{m}})_{m\in \mathbb {N} }}$の収束先である事を示せば、定理が証明される。

αがV^*の元である事を示すため、V^*の条件を順に示す。まず${\displaystyle \alpha _{n_{m}}}$の線形性より${\displaystyle \alpha }$の線形性が従う。しかも任意のε>0と任意のx ∈ Vに対し、ある${\displaystyle m_{0}\in \mathbb {N} }$以上のmに対して

${\displaystyle |\alpha (x)|\leq |\alpha (x)-\alpha _{n_{m}}(x)|+|\alpha _{n_{m}}(x)|\leq \varepsilon +|x|}$

が${\displaystyle \alpha _{n_{m}}\in B^{*}}$から従うので、ε>0の任意性から ${\displaystyle |\alpha (x)|\leq |x|}$、すなわち${\displaystyle \alpha \in B^{*}\subset V^{*}}$が従う。

αの定義より、${\displaystyle \lim _{m\to \infty }|\alpha _{n_{m}}(x)-\alpha (x)|=0}$が任意のx ∈ Vに対して従い、これは${\displaystyle (\alpha _{n_{m}})_{m\in \mathbb {N} }}$がαに＊弱収束する事を意味する。

X 内の任意の x に対し、

${\displaystyle D_{x}=\{z\in \mathbb {C} :\left|z\right|\leq \|x\|\},}$

と

${\displaystyle D=\Pi _{x\in X}D_{x}}$

を定める。各 D_x は複素平面内のコンパクト部分集合であるため、チコノフの定理より積位相において D もまたコンパクトである。

X* 内の閉単位球 B₁(X*) は、自然な方法で D の部分集合と見なすことが出来る。すなわち

${\displaystyle f\in B_{1}\left(X^{*}\right)\mapsto (f(x))_{x\in X}\in D}$

である。この写像は単射かつ連続で、B₁(X*) は弱 * 位相を持ち、D は積位相である。この値域上で定義される逆写像もまた連続である。

この写像の値域が閉であることが示されれば、定理は証明される。しかしそれは明らかである。D 内の次のネット

${\displaystyle (f_{\alpha }(x))_{x\in X}\rightarrow (\lambda _{x})_{x\in X}}$

を考えると、次で定義される汎函数

${\displaystyle g(x)=\lambda _{x}\,}$

は B₁(X*) に属する。