ヴェブレン階層

ヴェブレン階層（ヴェブレンかいそう）とは、ヴェブレン関数の値からなる超限次元の行列であり、フェファーマン・シュッテの順序数 (Γ₀) より小さい順序数を表現する一般的な方法である。 任意の Γ₀ より小さい順序数は、0 と和とヴェブレン関数の組み合わせによって、有限に記述される。 オズワルド・ヴェブレンが1908年の論文にて紹介した^[1]。

ヴェブレン階層とヴェブレン関数

ヴェブレン関数 φ は、可算な順序数の上に定義される二変数関数で、最小の非可算な順序数を Ω で表すとき、ヴェブレン関数の値からなる Ω × Ω の超限次元の行列を特にヴェブレン階層と呼ぶ。 ヴェブレン階層の α 行目、β 列目の値を φ_α(β) と書く。 ここでは、概略的な説明にとどめる。

まず、ヴェブレン階層の 0 行目に additive principal な順序数を小さいものから順番に置く。 （すなわち、 φ₀(α) = ω^α） 次に、1 行目には、 φ₀(α) = α をみたすような α を小さいものから順番に置く。 これらの順序数 φ₁(α) を、特に ε_α と書く。 例えば、 ε₀ は、${\displaystyle \omega ^{\alpha }=\alpha }$ となる最小の順序数 ${\displaystyle \alpha }$で、直感的には${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega ^{\dots }}}}$ の値である。 ただし、ε₀^ω = ε₀ ではないことに注意せねばならない。 従来の羃の表記よりは、右上から左下にかけて小さく書かれている方が、意味的には正しい。 ε₁ は、ε₀ より大きく ω^α = α であるような最小の数 α で、 ${\displaystyle \varepsilon _{0}+1,\ \omega ^{\varepsilon _{0}+1},\ \omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}}$ の極限として与えられる。 一般に、後続順序数 α + 1 に対して、ヴェブレン階層の α+1 列目は φ_α(β) = β となるような β が順番に置かれ、極限順序数 λ に対しては、それより上のすべての行に現れる順序数が順番に置かれる。

このように構成されたヴェブレン階層の値は、次のように比較することができる： 次のいずれかが成り立つ場合、 φ_α(β) < φ_γ(δ)。

• α = γ かつ β < δ
• α < γ かつ β < φ_γ(δ)
• α > γ かつ φ_α(β) < δ

フェファーマン・シュッテの順序数

フェファーマン・シュッテの順序数とは、Γ₀ と書かれ、φ_α(0) = α をみたすような最小の順序数 α のことである。任意の Γ₀ より小さい順序数は、0 と和とヴェブレン関数の組み合わせによって、有限に記述される。

脚注

1. ^ Veblen, Oswald (1908), “Continuous Increasing Functions of Finite and Transfinite Ordinals”, Transactions of the American Mathematical Society 9 (3): 280–292, doi:10.2307/1988605, JSTOR 1988605, https://jstor.org/stable/1988605 

関連項目

• 順序数
• 極限順序数
• 超限順序数
• 最小の超限順序数 ω
• エプシロン・ノート ε₀ ${\displaystyle \quad \psi \left(0\right)}$
• ζ₀ ${\displaystyle \quad \psi \left(\Omega \right)}$
• フェファーマン・シュッテの順序数（英語版）（Feferman–Schütte ordinal）Γ₀ ${\displaystyle \quad \Gamma _{0}}$${\displaystyle \quad \vartheta \left(\Omega \right)}$${\displaystyle \quad \psi \left(\Omega ^{\Omega }\right)}$
• 多変数ヴェブレン階層
  • (有限)多変数に拡張されたヴェブレン階層
  • 超限変数に拡張されたヴェブレン階層
• アッカーマン順序数（Ackermann ordinal）θ(Ω²) ${\displaystyle \quad \vartheta \left(\Omega ^{2}\right)}$${\displaystyle \quad \psi \left(\Omega ^{\Omega ^{2}}\right)}$
• 小ヴェブレン順序数（small Veblen ordinal）θ(Ω^ω) ${\displaystyle \quad \vartheta \left(\Omega ^{\omega }\right)}$${\displaystyle \quad \psi \left(\Omega ^{\Omega ^{\omega }}\right)}$
• 大ヴェブレン順序数（large Veblen ordinal）θ(Ω^Ω) ${\displaystyle \quad \vartheta \left(\Omega ^{\Omega }\right)}$${\displaystyle \quad \psi \left(\Omega ^{\Omega ^{\Omega }}\right)}$
• 順序数崩壊関数（ordinal collapsing function）
• 最小の非可算順序数 Ω
• バッハマン・ハワード順序数（英語版） ${\displaystyle \quad \psi \left(\varepsilon _{\Omega +1}\right)}$
• ブーフホルツのψ関数（英語版） （ブーフホルツのプサイ関数）

外部リンク

• ヴェブレン関数 | 巨大数研究 Wiki | Fandom