代数的内部

数学の一分野である函数解析学において、ベクトル空間の部分集合の代数的内部（だいすうてきないぶ、英: algebraic interior）あるいは動径核（radial kernel）は、集合の内部を細緻化する概念である。与えられた集合の代数的内部とは、その集合に属する点であって、その点を原点としてもとの集合が併呑となるような点、すなわちその集合の動径点（英語版）[1]の全体である。代数的内部の元は、しばしば（代数的）内点（internal points）と呼ばれる[2][3]。

具体的に、 X {\displaystyle X} が線型空間であるとき、 A ⊆ X {\displaystyle A\subseteq X} の代数的内部は次で定義される。

core ⁡ ( A ) := { x 0 ∈ A : ∀ x ∈ X , ∃ t x > 0 , ∀ t ∈ [ 0 , t x ] , x 0 + t x ∈ A } . {\displaystyle \operatorname {core} (A):=\left\{x_{0}\in A:\forall x\in X,\,\exists t_{x}>0,\,\forall t\in [0,t_{x}],\,x_{0}+tx\in A\right\}.} [4]

一般に core ⁡ ( A ) ≠ core ⁡ ( core ⁡ ( A ) ) {\displaystyle \operatorname {core} (A)\neq \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))} であることに注意されたい。しかし A {\displaystyle A} が凸集合であるなら、 core ⁡ ( A ) = core ⁡ ( core ⁡ ( A ) ) {\displaystyle \operatorname {core} (A)=\operatorname {core} (\operatorname {core} (A))} である。また A {\displaystyle A} が凸集合であるときは、 x 0 ∈ core ⁡ ( A ) , y ∈ A , 0 < λ ≤ 1 {\displaystyle x_{0}\in \operatorname {core} (A),y\in A,0<\lambda \leq 1} に対して λ x 0 + ( 1 − λ ) y ∈ core ⁡ ( A ) {\displaystyle \lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {core} (A)} が成立する。

例

A ⊂ R 2 {\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{2}} が A = { x ∈ R 2 : x 2 ≥ x 1 2  or  x 2 ≤ 0 } {\displaystyle A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{ or }}x_{2}\leq 0\}} で与えられるなら、 0 ∈ core ⁡ ( A ) {\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A)} である。しかし、 0 ∉ int ⁡ ( A ) {\displaystyle 0\not \in \operatorname {int} (A)} および 0 ∉ core ⁡ ( core ⁡ ( A ) ) {\displaystyle 0\not \in \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))} である。

性質

A , B ⊂ X {\displaystyle A,B\subset X} であるなら、次が成り立つ。

  • A {\displaystyle A} が併呑集合であるための必要十分条件は、 0 ∈ core ⁡ ( A ) {\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A)} である[1]。
  • A + core ⁡ B ⊂ core ⁡ ( A + B ) {\displaystyle A+\operatorname {core} B\subset \operatorname {core} (A+B)} [5]
  • B = core ⁡ B {\displaystyle B=\operatorname {core} B} [5] であるなら、 A + core ⁡ B = core ⁡ ( A + B ) {\displaystyle A+\operatorname {core} B=\operatorname {core} (A+B)} である[5]。

内部との関係

X {\displaystyle X} を線型位相空間とし、 int {\displaystyle \operatorname {int} } を内部作用素とし、 A ⊂ X {\displaystyle A\subset X} とする。このとき次が成り立つ：

  • int ⁡ A ⊆ core ⁡ A {\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {core} A}
  • A {\displaystyle A} が空でない凸集合で、 X {\displaystyle X} が有限次元であるなら、 int ⁡ A = core ⁡ A {\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A} である[2]。
  • A {\displaystyle A} が凸集合で、その内部が空でないなら、 int ⁡ A = core ⁡ A {\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A} である[6]。
  • A {\displaystyle A} が閉凸集合で、 X {\displaystyle X} が完備距離空間であるなら、 int ⁡ A = core ⁡ A {\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A} である[7]。

脚注

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  1. ^ a b Jaschke, Stefan; Kuchler, Uwe (2000). Coherent Risk Measures, Valuation Bounds, and ( μ , ρ {\displaystyle \mu ,\rho } )-Portfolio Optimization. 
  2. ^ a b Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3 ed.). Springer. pp. 199–200. doi:10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0 
  3. ^ John Cook (1988年5月21日). “Separation of Convex Sets in Linear Topological Spaces” (pdf). 2015年5月26日閲覧。
  4. ^ Nikolaĭ Kapitonovich Nikolʹskiĭ (1992). Functional analysis I: linear functional analysis. Springer. ISBN 978-3-540-50584-6 
  5. ^ a b c Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ,: World Scientific Publishing  Co., Inc. pp. 2–3. ISBN 981-238-067-1. MR1921556 
  6. ^ Shmuel Kantorovitz (2003). Introduction to Modern Analysis. Oxford University Press. p. 134. ISBN 9780198526568 
  7. ^ Bonnans, J. Frederic; Shapiro, Alexander (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer series in operations research, Springer, Remark 2.73, p. 56, ISBN 9780387987057, https://books.google.co.jp/books?id=ET70F9HgIpIC&pg=PA56&redir_esc=y&hl=ja .

関連項目