三角法 における正接定理 （せいせつていり）とは、三角形 の2つの角と2つの辺の関係を示した定理 である。
公式 図1：α, β, γ の3つの角と a, b, c の3辺を持つ三角形 図1 において以下の式が成り立つ。
a − b a + b = tan [ 1 2 ( α − β ) ] tan [ 1 2 ( α + β ) ] . {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.} 正接定理は正弦定理 や余弦定理 ほど一般的ではないが、三角形の2つの角と2辺の長さのうちどれか1つが不明の場合は正弦定理の代わりにこの定理を使用しても残りの値を出すことができる。
球面上の三角形における正接定理は、13世紀にナスィールッディーン・トゥースィー が著書 Treatise on the Quadrilateral で言及している[1] [2]
証明 この定理の証明は、正弦定理 から始まる。
d = a sin α = b sin β {\displaystyle d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}} と置く。変形すると
a = d sin α {\displaystyle a=d\sin \alpha } b = d sin β {\displaystyle b=d\sin \beta } となる。
定理の左辺に代入する。
a − b a + b = d sin α − d sin β d sin α + d sin β = sin α − sin β sin α + sin β . {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.} ここで、以下の和積公式 を使用する。
sin α ± sin β = 2 sin α ± β 2 cos α ∓ β 2 {\displaystyle \sin {\alpha }\pm \sin {\beta }=2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}} 最終的に以下のようになる。
a − b a + b = 2 sin 1 2 ( α − β ) cos 1 2 ( α + β ) 2 sin 1 2 ( α + β ) cos 1 2 ( α − β ) = tan [ 1 2 ( α − β ) ] tan [ 1 2 ( α + β ) ] . ◼ {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.\qquad \blacksquare } この証明を変形して以下の式を導くことができる。
tan α ± β 2 = sin α ± sin β cos α + cos β {\displaystyle \tan {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}} 応用 正接定理は、三角形の2辺 a, b とその間の角 γ {\displaystyle \gamma } tan [ 1 2 ( α − β ) ] = a − b a + b tan [ 1 2 ( α + β ) ] = a − b a + b cot [ γ 2 ] {\displaystyle \tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]={\frac {a-b}{a+b}}\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]={\frac {a-b}{a+b}}\cot[{\frac {\gamma }{2}}]} α − β {\displaystyle \alpha -\beta } α + β = 180 ∘ − γ {\displaystyle \alpha +\beta =180^{\circ }-\gamma } c = a 2 + b 2 − 2 a b cos γ {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}} γ {\displaystyle \gamma } a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} 桁落ち の危険性があるため正接定理のほうが都合がよい。
関連項目 脚注 ^ Marie-Thérèse Debarnot (1996). “Trigonometry”. In Rushdī Rāshid, Régis Morelon. Encyclopedia of the history of Arabic science, Volume 2 . Routledge. p. 182. ISBN 0-415-12411-5. https://books.google.co.jp/books?id=cPGRYLlwbrEC&pg=PA182&redir_esc=y&hl=ja ^ Q. Mushtaq, JL Berggren (2002). “Trigonometry”. In C. E. Bosworth, M.S.Asimov. History of Civilizations of Central Asia, Volume 4, Part 2 . Motilal Banarsidass Publ.. p. 190. ISBN 81-208-1596-3. https://books.google.co.jp/books?id=ELrRr0L8UOsC&pg=PA190&redir_esc=y&hl=ja 外部リンク 
![{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b7a4a3592aa66976f1d34bbbb403daa392f9fdf)
![{\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.\qquad \blacksquare }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e74315561e7973ed1162376e8acf4c82081175a6)
![{\displaystyle \tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]={\frac {a-b}{a+b}}\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]={\frac {a-b}{a+b}}\cot[{\frac {\gamma }{2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37200b8c0ecda829acbd16ec403dd1c42ba727bb)
