非有基的集合論

非有基的集合論（ひゆうきてきしゅうごうろん）は、集合がそれ自身の要素であることを認め、自己属集合（ある集合が自分自身の要素になっている集合）を許容する集合論である。

概要

数学で一般的に用いられる公理論的集合論は、集合の要素は集合自身を含まないという公理（正則性公理、基礎の公理、有基性公理とも呼ばれる）に基づいている。このため、自己参照的な概念のモデル化に用いることは困難だった。これに対して、自己属集合を許容する非有基的集合論は、自己参照や無限遡及を自然に扱うことができるために、計算機科学（プロセス代数と最終意味論）、言語学と自然言語意味論（状況意味論）、哲学（うそつきパラドックスに関する研究）^[1]、非標準解析における非終了計算プロセスの論理モデリング、複雑系科学などに応用されている^[2]。

非有基的集合論の研究は、1917年から1920年にかけて発表されたドミトリー・ミリマノフが一連の論文によって先鞭がつけられた^[3]。以後、複数の非有基的集合論の公理系が提案されたものの、専門分野内の議論にとどまり、応用されることは少なかった。応用が盛んとなったのは、グラフを用いることで有基性公理に基づく集合（well-founded set）とそれに基づかない非有基的集合（non-well-founded set）の両方を許容するHyperset論^[4]をピーター・アクゼルが1988年に発表した以降のことである。

脚注

外部リンク

• Aczel, Peter (1988), Non-well-founded sets, CSLI Lecture Notes, 14, Stanford, CA: Stanford University, Center for the Study of Language and Information, pp. xx+137, ISBN 0-937073-22-9, MR0940014, https://archive.org/details/nonwellfoundedse0000acze/page/. 
• Moss, L. S. (2008). Non-wellfounded set theory. Stanford Encyclopedia ofPhilosophy. https://plato.stanford.edu/entries/nonwellfounded-set-theory/
• 辻下徹. (1994). 非有基的集合論入門 http://ac-net.org/tjst/doc/tjst/92hyperset.pdf
• 辻下徹. (1995). 非有基的集合論の紹介: 自己言及的状況の表現法として (複雑さの理論, 基研長期研究会 「複雑系」, 研究会報告). 物性研究, 63(6), 663-666. https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/95526/1/KJ00004736634.pdf
• 向井国昭. (2003). 超集合論 circularity の論理の現在. 科学哲学, 36(2), 65-77. https://www.jstage.jst.go.jp/article/jpssj1968/36/2/36_2_65/_pdf

表 話 編 歴 数学
主要分野	数理論理学 集合論 圏論 代数学 初等 線型 多重線型 抽象 算術/数論 解析学/微分積分学 関数解析学 行列解析 幾何学 代数 微分 有限 離散 位相 代数的位相 表現論 リー理論（英語版） 微分方程式 線型微分方程式 複素微分方程式 常微分方程式 偏微分方程式 積分微分方程式 力学系 組合せ数学 数理物理学 ゲーム理論 グラフ理論 最適化問題 数理最適化 計算理論 確率論 数理統計学（英語版） 制御理論 三角法
トピックス	数学史 和算 算道 数理哲学 美 未解決問題 算数・数学教育 算数 教科
賞	ボッチャー記念賞 コール賞 フィールズ賞 ヴェブレン賞 サレム賞 スティール賞 ウルフ賞 クラフォード賞 クレイ研究賞 ガウス賞 アーベル賞 ラマヌジャン賞 SASTRAラマヌジャン賞 チャーン賞 数学ブレイクスルー賞
応用	情報理論 折紙の数学 囲碁と数学 数値解析 精度保証付き数値計算 計算機援用証明 数値線形代数 常微分方程式の数値解法 偏微分方程式の数値解法
学会・団体	国際数学者会議 国際数学連合 国際産業数理・応用数理会議 国際産業数理・応用数理評議会（英語版） アメリカ数学会 SIAM ヨーロッパ数学会 ロンドン数学会 日本応用数理学会 日本数学会 数学教育協議会
競技	国際数学オリンピック 日本数学オリンピック 日本ジュニア数学オリンピック 広中杯 近畿大学数学コンテスト 人の最大の力を競う算数・数学の大会
研究所	京都大学数理解析研究所 明治大学先端数理科学インスティテュート 統計数理研究所 アンリ・ポアンカレ研究所 オーバーヴォルファッハ数学研究所 クレイ研究所 CIMAT数学研究センター ステクロフ数学研究所
一覧 数学定数 数 関数 図形 数学記号 数学者 エポニム カテゴリ ポータル

表 話 編 歴 集合論
基本	集合 元 包含関係 内包と外延 クラス ベン図
演算	和集合 非交和 共通部分 素集合 直積集合 分割 補集合 差集合 対称差 冪集合 ド・モルガンの法則 集合の代数学
関係	性質 反射関係 推移関係 推移閉包 対称関係 非対称関係 反対称関係 完全関係 同値関係 同値類 well-defined 整礎関係 逆関係 関係の合成 写像 定義域 終域 値域 単射 全射 全単射 逆写像 像と逆像 恒等写像 制限 包含写像 合成 射影 商写像 指示関数 配置集合 族 添字集合 順序対 順序組 列 集合族 グラフ 部分写像 対応 順序 前順序 有向 半順序 全順序 整列 稠密 有界 単調写像 順序同型 辞書式順序 順序型 推移的集合 順序数 0 後続 極限 自然数 ハッセ図 超限帰納法 ツォルンの補題 整列可能定理 整礎的集合 フォン・ノイマン宇宙
濃度	有限集合 空集合 単集合 遺伝的 可算集合 非可算集合 連続体濃度 始順序数 共終数 基数 正則 到達不能 巨大 一覧 ベルンシュタインの定理 カントールの対角線論法 カントールの定理 連続体仮説
公理化	素朴集合論 ラッセルのパラドックス 公理的集合論 ツェルメロ＝フレンケル集合論 フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 モース-ケリー集合論 新基礎集合論 外延性の公理 空集合の公理 分出公理 対の公理 和集合の公理 冪集合公理 置換公理 無限公理 正則性公理 選択公理 可算 従属
研究者	ゲオルク・カントール リヒャルト・デーデキント バートランド・ラッセル エルンスト・ツェルメロ アドルフ・フレンケル ジョン・フォン・ノイマン クルト・ゲーデル ポール・コーエン
カテゴリ