Den tomme mengden

Denne artikkelen mangler kildehenvisninger, og opplysningene i den kan dermed være vanskelige å verifisere. Kildeløst materiale kan bli fjernet. Helt uten kilder. (10. okt. 2015)

Den tomme mengden er innenfor matematikk en mengde uten elementer.

Notasjon

Den tomme mengde skrives {}, Ø eller ${\displaystyle \emptyset }$. De to siste symbolene ble innført av Bourbaki-gruppen i 1939, inspirert av bokstaven Ø.

Egenskaper

I henhold til eksistensialitetsaksiomet er to mengder like dersom de inneholder de samme elementene – det finnes med andre ord kun én mengde som ikke inneholder noen elementer. Denne kalles derfor den tomme mengden, snarere enn en tom mengde.

For enhver mengde A gjelder følgende:

• Den tomme mengden er en delmengde av A:

  ∀A: ∅ ⊆ A

• Unionen mellom A og den tomme mengden er A:

  ∀A: A ∪ ∅ = A

• Snittet mellom A og den tomme mengden er den tomme mengden:

  ∀A: A ∩ ∅ = ∅

• Det kartesiske produktet av A og den tomme mengden er tomt:

  ∀A: A × ∅ = ∅

Den tomme mengden har følgende egenskaper:

• Dens eneste delmengde er den tomme mengden selv:

  ∀A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅

• Potensmengden av den tomme mengden er en mengde som kun inneholder den tomme mengden:

  2^∅ = {∅}

• Antallet elementer (mengdens kardinalitet) er null:

  |∅| = 0