Russells paradoks

Russells paradoks ble formulert av Bertrand Russell i 1901, og viser at den naive mengdelæren til Cantor og Frege inneholder selvmotsigelser. La M være mengden av alle mengder som ikke inneholder seg selv,

${\displaystyle M=\{A|A\notin A\}.}$

Denne definisjonen fører til en motsigelse, når man prøver å avgjøre om M selv er et element i M: Antar man at M ikke er et element i M, altså at M ikke inneholder seg selv, så oppfyller M egenskapen som medfører medlemskap i M, og er dermed et element i M. Og motsatt: Hvis man antar at M er et element i M, så fører medlemskapet til at M må ha egenskapen som definerer alle medlemmene, nemlig å ikke inneholde seg selv, og dermed er ikke M et element i M.

${\displaystyle M\in M\Rightarrow M\notin M}$

${\displaystyle M\notin M\Rightarrow M\in M}$

Det finnes mange formuleringer av Russells paradoks. En kjent versjon er barbereren som barberer alle som ikke barberer seg selv. Barberer barbereren seg selv?

At det var mulig å formulere et paradoks i den naive mengdelæren, gjorde at man så det nødvendig å bygge opp mengdelæren på en annen måte. I aksiomatisk mengdelære kan ikke «mengden av alle mengder som ikke inneholder seg selv» være en mengde, og paradokset blir dermed unngått.