Aksjomat ekstensjonalności

Aksjomat ekstensjonalności, aksjomat jednoznaczności[1], aksjomat równości – jeden z aksjomatów Zermela-Fraenkla w aksjomatycznej teorii mnogości, sformułowany przez Ernsta Zermela w 1908 roku[2][3]. Aksjomat ten postuluje, że dwa zbiory złożone z tych samych elementów są identyczne.

Formalnie aksjomat ten to następujące zdanie języka pierwszego rzędu L ( { ∈ } ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\{\in \})} (gdzie ∈ {\displaystyle \in } jest binarnym symbolem relacyjnym):

( ∀ x ) ( ∀ y ) ( ( ∀ z ) ( z ∈ x ⇔ z ∈ y ) ⇒ ( x = y ) ) . {\displaystyle {\Big (}\forall x{\Big )}{\Big (}\forall y{\Big )}{\Big (}(\forall z)(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow (x=y){\Big )}.}

Interpretacja

Aksjomat ekstensjonalności postuluje, że jeśli dwa zbiory mają te same elementy, to są równe. Ponieważ dwa równe zbiory mają te same elementy, to możemy sformułować ten aksjomat tak:

dwa zbiory są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy.

Zatem każdy zbiór jest wyznaczony jednoznacznie przez swoje elementy. W szczególności jeśli φ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)} jest formułą języka teorii mnogości L ( { ∈ } ) {\displaystyle {\mathcal {L}}(\{\in \})} i wiemy, że istnieje zbiór złożony ze wszystkich obiektów a , {\displaystyle a,} dla których jest spełnione φ ( a ) , {\displaystyle \varphi (a),} to zbiór ten jest wyznaczony jednoznacznie. Pisząc „ { x : φ ( x ) } {\displaystyle \{x:\varphi (x)\}} ” na oznaczenie tego zbioru, odwołujemy się także do aksjomatu ekstensjonalności.

Czasami aksjomat ekstensjonalności podaje się jako stwierdzenie, że relacja należenia jest ekstensjonalna. Przypomnijmy, że relacja dwuczłonowa R {\displaystyle R} na zbiorze X jest ekstensjonalna, gdy następujący warunek jest spełniony:

dla wszystkich x , y ∈ X , {\displaystyle x,y\in X,} jeśli ( ∀ z ∈ X ) ( z R x ⇔ z R y ) {\displaystyle (\forall z\in X)(z\;R\;x\Leftrightarrow z\;R\;y)} to x = y . {\displaystyle x=y.}

(Warto wspomnieć, że twierdzenie Mostowskiego o kolapsie stwierdza, że każda relacja dobrze ufundowana i ekstensjonalna jest izomorficzna z relacją należenia ograniczoną do pewnego zbioru przechodniego.)

Inne sformułowania aksjomatu

  • Logikę pierwszego rzędu można rozwijać bez użycia symbolu równości jako jednego z symboli logicznych. Przy tym podejściu nie możemy w sformułowaniu aksjomatu napisać x = y {\displaystyle x=y} i wtedy aksjomat ekstensjonalności formułuje się w następujący, bardziej skomplikowany sposób:
( ∀ x ) ( ∀ y ) ( ( ∀ z ) ( z ∈ x ⇔ z ∈ y ) ⇒ ( ∀ w ) ( x ∈ w ⇔ y ∈ w ) ) . {\displaystyle {\Big (}\forall x{\Big )}{\Big (}\forall y{\Big )}{\Big (}(\forall z)(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow (\forall w)(x\in w\Leftrightarrow y\in w){\Big )}.}
  • W teorii mnogości z urelementami aksjomat ekstensjonalności formułuje się tylko w odniesieniu do zbiorów.
  • W teorii klas (zarówno Kelleya-Morse’a, jak i NBG) również formułuje się odpowiedni aksjomat extensjonalności. John L. Kelley[4] podaje ten aksjomat jako pierwszy na jego liście. Postulat ten może być wyrażony za pomocą tej samej fomuły co podana przez nas wcześniej, ale znaczenie teraz jest, że klasy o tych samych elementach są równe. W systemie von Neumanna-Bernaysa-Gödla formułuje się dwa postulaty: ekstensjonalność dla klas i ekstensjonalność dla zbiorów.

Przypisy

  1. ↑ KazimierzK. Kuratowski KazimierzK., AndrzejA. Mostowski AndrzejA., Teoria Mnogości, „Monografie”, trzecie zmienione, 27, Monografie Matematyczne, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, s. 65 .
  2. ↑ Zermelo, Ernst: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre. „Math. Ann.” 65 (1908), strony 261-281.
  3. ↑ Jech, Thomas: Set theory. Wydanie drugie. „Perspectives in Mathematical Logic”. Springer-Verlag, Berlin, 1997. ISBN 3-540-63048-1. Strony 1 oraz 579.
  4. ↑ Kelley, John: General topology. 1976 (1955). ISBN 0-387-90125-6.

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., AxiomofExtensionality, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
Encyklopedia internetowa (axiom of set theory):
  • Britannica: topic/axiom-of-extensionality