Aksjomat zbioru potęgowego

Aksjomat zbioru potęgowego, AxP[1] – jeden z aksjomatów teorii mnogości w ujęciu Zermela-Fraenkla.

W postaci sformalizowanej aksjomat ten przybiera następującą postać[1]:

∀ u ∃ y ∀ x ( x ∈ y ⇔ ∀ z ( z ∈ x ⇒ z ∈ u ) ) . {\displaystyle \forall u\;\exists y\;\forall x\;{\Big (}x\in y\Leftrightarrow \forall z\;(z\in x\Rightarrow z\in u){\Big )}.}

Można go również sformalizować inaczej[2]:

∀ u ∃ y ∀ x ( x ∈ y ⇔ x ⊆ u ) . {\displaystyle \forall u\;\exists y\;\forall x\;(x\in y\Leftrightarrow x\subseteq u).}

Jednakże w przeciwieństwie do poprzedniego zapisu sformułowanie to wykorzystuje symbol ⊆ {\displaystyle \subseteq } oznaczający relację inkluzji, czyli zawierania się jednego zbioru w drugim (bycia podzbiorem). Nie jest on pierwotnym pojęciem teorii zbiorów w ujęciu Zermela-Fraenkla, ale 2-argumentowym predykatem wymagającym odrębnej definicji ( x ⊆ y ⇔ ∀ z   ( z ∈ x ⇒ z ∈ y ) ) {\displaystyle (x\subseteq y\Leftrightarrow \forall z\ (z\in x\Rightarrow z\in y))} [3].

Aksjomat ten stwierdza, że dla każdego zbioru u {\displaystyle u} istnieje zbiór y , {\displaystyle y,} którego elementami są dokładnie te, które są podzbiorami zbioru u . {\displaystyle u.} Aksjomat ekstensjonalności zapewnia istnienie dokładnie jednego takiego zbioru. Zbiór nazywa się zbiorem potęgowym zbioru u {\displaystyle u} [1]. Jest to więc zbiór wszystkich podzbiorów zbioru u . {\displaystyle u.} Oznacza się go P ( u ) . {\displaystyle P(u).}

Zbiór ten można w sposób sformalizowany scharakteryzować następująco: ∀ x ( x ∈ P ( U ) ⇔ x ⊆ U ) {\displaystyle \forall x\;(x\in P(U)\Leftrightarrow x\subseteq U)} [2].

Teoria mnogości bez aksjomatu zbioru potęgowego

W matematyce rozważana jest niekiedy teoria ZF− (bądź ZFC−), tj. teoria mnogości, której aksjomatami są wszystkie aksjomaty ZF (ZFC) poza aksjomatem zbioru potęgowego. Andrzej Zarach wykazał[4], zakładając niesprzeczność ZFC, że istnieją modele ZF−, w których suma przeliczalnie wielu zbiorów przeliczalnych może być nieprzeliczalna (dokładniej – modele, w których liczba ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} jest singularna), a także takie modele ZF−, w których każdy podzbiór prostej rzeczywistej jest przeliczalny, a mimo to liczba ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} istnieje. V. Gitman, J.D. Hamkins oraz T.A. Johnstone wykazali[5], że analogiczne sytuacje mają miejsce w teorii ZFC−.

Przypisy

  1. ↑ a b c Nowak 2016 ↓, s. 92.
  2. ↑ a b Nowak 2016 ↓, s. 97.
  3. ↑ Nowak 2016 ↓, s. 93–94.
  4. ↑ Andrzej Zarach, Unions of ZF−-models which are themselves ZF−-models. w: Logic Colloquium ’80 (Prague, 1980), Vol. 108 of Stud. Logic Foundations Math. s. 315–342. North-Holland, Amsterdam, 1982.
  5. ↑ V. Gitman, J.D. Hamkins, T.A. Johnstone, What is the theory ZFC without power set?, „MLQ. Math. Log. Q.”, 62, iss. 4–5 (2016), s. 391−406.

Bibliografia

  • Marek Nowak: Dowodzenie w arytmetyce liczb naturalnych i teorii zbiorów. W: Andrzej Indrzejczak, Marek Nowak: Metody logiki. Dedukcja. Łódź: Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2016. ISBN 978-83-8088-359-8.

Linki zewnętrzne

  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Axiom of the Power Set, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
Encyklopedia internetowa (axiom of set theory):
  • Britannica: topic/axiom-of-power-set