Aksjomat zbioru pustego

Aksjomat zbioru pustego – jeden z aksjomatów teorii mnogości w ujęciu Zermela-Fraenkla, zakładający istnienie zbioru pustego[1].

Istnieje zbiór taki, że żaden element do niego nie należy. Można to zapisać zdaniem logicznym[1]:
∃ X ∀ y ( y ∉ X ) . {\displaystyle \exists X\;\forall y\;(y\notin X).}

Na mocy aksjomatu ekstensjonalności istnieje tylko jeden zbiór posiadający taką właściwość – jest to zbiór pusty ∅ . {\displaystyle \varnothing .}

Wraz z aksjomatem nieskończoności zaliczany jest do absolutnych pewników istnienia – postuluje on bowiem istnienie pewnego obiektu matematycznego (w tym wypadku zbioru pustego) bez żadnych dodatkowych założeń, w przeciwieństwie do większości aksjomatów Zermelo-Frenkla, uzależniających istnienie nowych obiektów od pewnych obiektów już istniejących[2].

Aksjomat zbioru pustego zazwyczaj wymienia się wśród aksjomatów Zermela-Fraenkla. Można go jednak bez szkody dla teorii pominąć, bowiem wynika on z aksjomatu nieskończoności – aksjomat nieskończoności gwarantuje istnienie zbioru, którego jednym z elementów jest właśnie zbiór pusty.

Jeśli język teorii mnogości jest uzupełniony o symbol zbioru pustego ∅ {\displaystyle \varnothing } jako zbioru a {\displaystyle a} zdefiniowanego przez warunek ∀ b ¬ ( b ∈ a ) , {\displaystyle \forall b\;\neg (b\in a),} to aksjomat nieskończoności gwarantujący istnienie zbioru X {\displaystyle X} zawiera frazę ∅ ∈ X , {\displaystyle \varnothing \in X,} w przeciwnym razie trzeba ją zastąpić przez frazę ∃ a ( a ∈ X ∧ ∀ b ¬ ( b ∈ a ) ) . {\displaystyle \exists a\;{\big (}a\in X\land \forall b\;\neg (b\in a){\big )}.}

Przypisy

  1. ↑ a b Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Axiom of the Empty Set, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.).
  2. ↑ Kuratowski i Mostowski 1978 ↓, s. 69.

Bibliografia

  • KazimierzK. Kuratowski KazimierzK., AndrzejA. Mostowski AndrzejA., Teoria Mnogości, „Monografie”, trzecie zmienione, 27, Monografie Matematyczne, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978 .

Literatura dodatkowa

  • Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: PWN, 2005. ISBN 83-01-14415-7.