Dopełnienie zbioru

Diagram Venna: A c {\displaystyle A^{c}} jest dopełnieniem A {\displaystyle A} względem U . {\displaystyle U.}

Dopełnienie zbioru, uzupełnienie zbioru[1][2][3][4] – zbiór wszystkich elementów (pewnego ustalonego nadzbioru), które do danego zbioru nie należą[5].

Definicja formalna

Niech dany będzie zbiór U , {\displaystyle U,} zwany dalej przestrzenią[1][2][4][6], zbiorem uniwersalnym[4] lub uniwersum[4], oraz jego podzbiór A ⊆ U . {\displaystyle A\subseteq U.} Dopełnieniem zbioru A {\displaystyle A} nazywa się różnicę

U ∖ A = { x ∈ U : x ∉ A } , {\displaystyle U\setminus A=\{x\in U\colon x\notin A\},}

oznaczaną zwykle symbolem A ′ {\displaystyle A'} [1][2][3][6] lub A c {\displaystyle A^{\operatorname {c} }} [2][4], a w starszych pozycjach także ∁ U A {\displaystyle \complement _{U}A} lub, jeśli U {\displaystyle U} jest znane, krótko ∁ A {\displaystyle \complement A} (litera „c” w niektórych oznaczeniach pochodzi od ang. complement, dopełniać).

Niekiedy spotyka się również oznaczenie − A {\displaystyle -A} [6], jednak jeżeli A {\displaystyle A} jest zbiorem, na którym określono pewną (addytywną) strukturę algebraiczną, to − A {\displaystyle -A} może oznaczać wtedy { − a : a ∈ A } . {\displaystyle \{-a\colon a\in A\}.}

  • Z definicji wynika, że dopełnienie zbioru zależy od wyboru przestrzeni.
  • Korzystając z pojęcia dopełnienia zbiorów, różnicę zbiorów A , B ⊆ U {\displaystyle A,B\subseteq U} można zapisać w postaci:
A ∖ B = A ∩ B ′ . {\displaystyle A\setminus B=A\cap B'.}

Własności

Dla dowolnego uniwersum U {\displaystyle U} prawdziwe są równości

∅ ′ = U , U ′ = ∅ . {\displaystyle \varnothing '=U,\quad U'=\varnothing .}

Dla ustalonego U {\displaystyle U} i dowolnego A ⊆ U {\displaystyle A\subseteq U} zachodzi

( A ′ ) ′ = A , {\displaystyle (A')'=A,}

co oznacza, że operacja dopełnienia jest inwolucją.

Prawdą jest też, iż zbiór i jego dopełnienie są rozłączne,

A ∩ A ′ = ∅ , {\displaystyle A\cap A'=\varnothing ,}

a ich suma daje całe uniwersum,

A ∪ A ′ = U , {\displaystyle A\cup A'=U,}

co oznacza, że { A , A ′ } {\displaystyle \{A,A'\}} jest rozbiciem zbioru U . {\displaystyle U.}

Dla danych A , B ⊆ U {\displaystyle A,B\subseteq U} zachodzą prawa de Morgana[7]:

( A ∪ B ) ′ = A ′ ∩ B ′ , {\displaystyle (A\cup B)'=A'\cap B',}
( A ∩ B ) ′ = A ′ ∪ B ′ . {\displaystyle (A\cap B)'=A'\cup B'.}

Dodatkowo

B = A ′ {\displaystyle B=A'} pociąga B ′ = A . {\displaystyle B'=A.}

Przykłady

  • Dopełnieniem zbioru { 1 , 2 } {\displaystyle \{1,2\}} w zbiorze { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} jest zbiór { 3 } . {\displaystyle \{3\}.}
  • Dopełnieniem zbioru liczb wymiernych w zbiorze liczb rzeczywistych jest zbiór liczb niewymiernych.
  • Dopełnieniem prostej na płaszczyźnie euklidesowej jest suma dwóch rozłącznych otwartych półpłaszczyzn.
  • Dopełnieniem zbioru { 0 , 1 , 2 } {\displaystyle \{0,1,2\}} w przestrzeni liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych większych od 2 , {\displaystyle 2,} natomiast w przestrzeni { − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } {\displaystyle \{-1,0,1,2,3,4,5\}} jest to zbiór { − 1 , 3 , 4 , 5 } . {\displaystyle \{-1,3,4,5\}.}

Przypisy

Zobacz hasło dopełnienie w Wikisłowniku
  1. ↑ a b c Rozdział I (pdf). W: Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. T. 27. Warszawa-Wrocław: Monografie matematyczne, 1952, s. 18. [dostęp 2008-12-30].
  2. ↑ a b c d Kazimierz Kuratowski, Ryszard Engelking: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2004, s. 16,17. ISBN 83-01-14215-4.
  3. ↑ a b Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki: wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 15. ISBN 83-01-14415-7.
  4. ↑ a b c d e Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996, s. 27–31. ISBN 83-01-12129-7.
  5. ↑ dopełnienie zbioru, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2023-09-06] .
  6. ↑ a b c Wiktor Marek, Janusz Onyszkiewicz: Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach. Warszawa: Państwowe wydawnictwo naukowe, 1975, s. 19.
  7. ↑ Angielski logik Augustus De Morgan odkrył przedstawione prawa rachunku zbiorów. Analogiczne prawa rachunku zdań sformułowano później, ale zwykło się je nazywać również nazwiskiem de Morgana Rozdział IV. Algebra zbiorów i relacji (pdf). W: Andrzej Mostowski: Logika matematyczna. T. 18. Warszawa-Wrocław: Monografie matematyczne, 1948, s. 100. [dostęp 2008-12-30].