Graniczna liczba porządkowa

Graniczna liczba porządkowa – liczba porządkowa, która nie jest następnikiem innej liczby porządkowej. Bardziej precyzyjnie liczba porządkowa λ {\displaystyle \lambda } jest graniczną liczbą porządkową wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej innej liczby porządkowej α < λ {\displaystyle \alpha <\lambda } zachodzi α + 1 < λ . {\displaystyle \alpha +1<\lambda .}

Liczba porządkowa jest graniczna wtedy i tylko wtedy, gdy jest równa sumie (teoriomnogościowej) swoich elementów (w przeciwnym wypadku suma ta jest poprzednikiem). Liczba 0 również spełnia definicję liczby granicznej, jednak czasem ze względów technicznych matematycy nie zaliczają jej do ich grona.

Przykłady

  • Żadna skończona liczba porządkowa (liczba naturalna) większa niż 0 nie jest graniczna.
  • ω {\displaystyle \omega } jest liczbą porządkową graniczną – istnienie tej liczby gwarantuje aksjomat nieskończoności.
  • Istnieje nieprzeliczalnie wiele przeliczalnych liczb porządkowych granicznych.
  • Każda liczba epsilonowa jest graniczna.
  • ω 1 = H ( ω ) , {\displaystyle \omega _{1}=\mathbb {H} (\omega ),} gdzie H {\displaystyle \mathbb {H} } oznacza wartość funkcji Hartogsa na zbiorze ω , {\displaystyle \omega ,} jest najmniejszą nieprzeliczalną liczbą porządkową, będącą jednocześnie liczbą graniczną.
  • Każda liczba kardynalna jest liczbą porządkową graniczną.

Przykładami porządkowych liczb granicznych są:

0 , ω , ω + ω , … , ω ⋅ n , … , ω 2 , … , ω m , … , ω ω , ω ω ω , … , ε 0 = ω ω ω … , … . {\displaystyle 0,\omega ,\omega +\omega ,\dots ,\omega \cdot n,\dots ,\omega ^{2},\dots ,\omega ^{m},\dots ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\dots ,\varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\ldots }}},\dots .}

gdzie n {\displaystyle n} i m {\displaystyle m} są dowolnymi liczbami naturalnymi.

Bibliografia

  • Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007.
  • Wacław Sierpiński: Cardinal and ordinal numbers. Wyd. drugie poprawione. Warszawa: PWN, 1965.