Macierz unitarna – macierz kwadratowa o elementach zespolonych
spełniająca własność[1]:
![{\displaystyle U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/890f0e74a720bdc45c4246801d01ae0fc3c542aa)
gdzie:
jest macierzą jednostkową wymiaru ![{\displaystyle n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/397bfafc701afdf14c2743278a097f6f2957eabb)
jest sprzężeniem hermitowskim macierzy ![{\displaystyle U.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a305ef479ab152035f334467a2c314baa23eb36)
Zauważmy, że własność ta oznacza, iż macierz
posiada macierz odwrotną
równą sprzężeniu hermitowskiemu jej samej, czyli:
![{\displaystyle U^{\dagger }=U^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cba90c54fcc7d9a41ec9765f3b8361ce3aa26c6d)
Szczególnym przypadkiem macierzy unitarnej jest macierz ortogonalna, mająca wyłącznie rzeczywiste elementy. Macierze unitarne mają wyjątkowe znaczenie w mechanice kwantowej.
Macierze unitarne są szczególnym przypadkiem macierzy normalnych.
Macierz unitarna wymiaru
można sparametryzować za pomocą
parametrów rzeczywistych (por. Parametryzacje macierzy unitarnych poniżej).
Własności macierzy unitarnej
Dla macierzy
słuszne są następujące stwierdzenia:
- Dla dowolnych wektorów zespolonych
and
mnożenie przez
zachowuje ich iloczyn wewnętrzny, tzn. ![{\displaystyle \langle Ux,Uy\rangle =\langle x,y\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a245aac61cd270b0c50f4ba8471a6c932c319956)
można zdiagonalizować, co oznacza, że
jest macierzą podobną do macierzy diagonalnej (jest to konsekwencją twierdzenia spektralnego); dlatego
można rozłożyć do postaci ![{\displaystyle U=VDV^{\dagger },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c089c62316e40ace2663f28c416f91f7ac37715c)
- gdzie
jest unitarna, zaś
jest diagonalna i unitarna.
- Wyznacznik macierzy unitarnej jest liczbą zespoloną o module równym 1:
![{\displaystyle |\det(U)|=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/109e44ca938c567898e1670b1734dddbd7b5ada4)
- Wektory własne macierzy
są ortogonalne.
może być zapisana w postaci
gdzie
oznacza eksponentę macierzy,
jest jednostką urojoną, zaś
jest macierzą hermitowską.
Równoważne warunki
Jeżeli
jest zespoloną macierzą kwadratową to następujące warunki są równoważne:
jest unitarna.
jest unitarna. - macierz odwrotna do
jest równa macierzy hermitowsko sprzężonej do
tj. ![{\displaystyle U^{-1}=U^{\dagger }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf90e9b59d5ad43c4f29adef20605cd4e8721e5f)
- Kolumny
tworzą bazę ortonormalną w
ze względu na iloczyn wewnętrzny. - Wiersze
tworzą bazę ortonormalną w
ze względu na iloczyn wewnętrzny.
jest izometrią ze względu na zwykła normę.
jest macierzą normalną z wartościami własnymi leżącymi na okręgu jednostkowym.
Grupa unitarna
Dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej
zbiór wszystkich
macierzy unitarnych z mnożeniem macierzy jako działaniem grupowym i macierzą jednostkową
jako elementem neutralnym mnożenia tworzy grupę, nazywaną grupą unitarną
Jest tak, gdyż zachodzą następujące własności:
- Iloczyn dwóch macierzy unitarnych
jest macierzą unitarną. - Macierz odwrotna do macierzy unitarnej
jest unitarna. - Macierz jednostkowa
jest unitarna.
Parametryzacje macierzy unitarnych
Macierze unitarne 1×1
Ogólna postać macierzy unitarnej 1×1:
![{\displaystyle U=e^{i\varphi }{\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee46189f1eb7737f09d8de3aa259713c90506911)
która zależy od 1 rzeczywistego parametru
Wyznacznik takiej macierzy wynosi:
![{\displaystyle \det(U)=e^{i\varphi }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6852aaa3b88444dd4be784a651ed0cdd0891f209)
Przypadek gdy
jest trywialny: wyznaczniki macierzy jest równy 1, istnieje tylko jedna taka macierz o postaci
która tworzy 1-elementową grupę nazywana grupą SU(1).
Macierze unitarne 2×2
Ogólna postać macierzy unitarnej 2×2:
![{\displaystyle U=e^{i\varphi }{\begin{bmatrix}a&b\\-{\overline {b}}&{\overline {a}}\end{bmatrix}},\qquad |a|^{2}+|b|^{2}=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96ba65c79df7ec212d7d06ea401e50952e71196c)
która zależy od 4 rzeczywistych parametrów (
oraz trzy parametry niezależne występujące w zapisie liczb zespolonych
). Wyznacznik takiej macierzy wynosi:
![{\displaystyle \det(U)=e^{i\varphi }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6852aaa3b88444dd4be784a651ed0cdd0891f209)
Gdy
to wyznaczniki macierzy jest równy 1. Grupa tworzona przez takie macierze unitarne jest nazywana grupą SU(2).
Macierz
może być napisana w alternatywnej formie:
![{\displaystyle U=e^{i\varphi }{\begin{bmatrix}e^{i\varphi _{1}}\cos \theta &e^{i\varphi _{2}}\sin \theta \\-e^{-i\varphi _{2}}\sin \theta &e^{-i\varphi _{1}}\cos \theta \end{bmatrix}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e912c8c5bc2aed8d5e63af6528595f8fb1ce28e)
po podstawieniu
and
otrzymamy faktoryzację:
![{\displaystyle U=e^{i\varphi }{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\Delta }&0\\0&e^{-i\Delta }\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fce751e7758f93b462fc3c97a05edfc63c05699)
Wyrażenie to podkreśla związek między macierzami unitarnymi 2×2 a macierzami obrotu 2×2 o kącie obrotu
Jest wiele możliwych sposobów faktoryzowania danej macierzy.
Macierze unitarne 3×3
Ogólna postać macierzy unitarnej 3×3:
![{\displaystyle U={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&e^{i\varphi _{4}}&0\\0&0&e^{i\varphi _{5}}\end{bmatrix}}K{\begin{bmatrix}e^{i\varphi _{1}}&0&0\\0&e^{i\varphi _{2}}&0\\0&0&e^{i\varphi _{3}}\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12bd4f1bc0595961d3c4d8c6c802eda29ae88761)
która zależy od 9 rzeczywistych parametrów: pięciu parametrów
oraz 4 parametrów, za pomocą których wyraża się macierz
która jest macierzą Cabibbo-Kobayashi-Maskawa (jest to macierz unitarna 3×3).
Przykłady
(1) Macierz
![{\displaystyle U={\begin{bmatrix}e^{-i}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6e7dce1b3f119bf3fb90ebfe551a8ffe18857ea)
jest unitarna, ponieważ
![{\displaystyle U\,U^{\dagger }={\begin{bmatrix}e^{-i}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{+i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e^{-i}e^{+i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}=I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d274228960ea1b7b4e9a66fe48c37ab41c37e326)
(2) Macierz
![{\displaystyle U={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ccdf24b685122f82503c909586d9df72405090)
jest unitarna, ponieważ
![{\displaystyle U\,U^{\dagger }={\begin{bmatrix}0&i\\i&0\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&-i\\-i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-i^{2}&0\\0&-i^{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}=I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8a7915e086c67812ec376e7c56b0ccc558cb989)
(3) Macierz
![{\displaystyle U={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1+i&1-i\\1-i&1+i\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39c87ab209ceb3fa82257516c00f91723932020d)
jest unitarna, ponieważ
![{\displaystyle U\,U^{\dagger }={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1+i&1-i\\1-i&1+i\end{bmatrix}}\cdot {\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}1-i&1+i\\1+i&1-i\end{bmatrix}}={\frac {1}{4}}{\begin{bmatrix}2(1+i)(1-i)&(1+i)^{2}+(1-i)^{2}\\(1-i)^{2}+(1+i)^{2}&2(1-i)(1+i)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}=I.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f93dd88dd9321e99e6c6e217acaae6d25cb168)
(4) Każda macierz ortogonalna jest unitarna, ponieważ jest szczególnym przypadkiem macierzy unitarnych, np. macierz obrotu:
![{\displaystyle R={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb0105fe9f9b40e042bb62aae06406d7bae25905)
Macierze unitarne w fizyce
Macierze unitarne są powszechnie stosowane w mechanice kwantowej.
Macierz ewolucji czasowej
Dla przykładu operator ewolucji czasowej wektora stanu układu kwantowego można przedstawić w postaci macierzy unitarnej; wektor stanu w chwili
otrzymuje się z pomnożenia wektora stanu w chwili
przez macierz ewolucji czasowej
czyli[2]
![{\displaystyle |\Psi (t)\rangle =U(t,t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/206622d708b084e0bd22ee6fd79911e6907ee7e9)
Wektor sprzężony do powyższego wektora ma postać:
![{\displaystyle \langle \Psi (t)|=\langle \Psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/022c15eabe272b3fee55f5503ae6cea6cb0742b9)
Ponieważ
![{\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a017c298f6bfd5974ed6b9d59c92b5569687aa)
długość wektora stanu w chwili
wynosi
![{\displaystyle \langle \Psi (t)|\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle =\langle \Psi (t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e8b4649d3771fa715d39dc3d3910bbcbfa39d3d)
Macierz unitarna ewolucji czasowej zachowuje więc długość wektora stanu. Dzięki temu możliwe jest nadanie interpretacji probabilistycznej formalizmowi mechaniki kwantowej.
Wartość oczekiwana pomiaru
Wartość oczekiwaną pomiaru
w chwili
z pomiaru wykonanego na zespole identycznie przygotowanych układów kwantowych, gdzie pomiarowi wielkości fizycznej
odpowiada operator pomiaru
(reprezentowany przez macierz hermitowską), oblicza się ze wzoru[3]:
![{\displaystyle \langle {\hat {O}}\rangle (t)=\langle \Psi (t)|{\hat {O}}\Psi (t)\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b8882b7fe1eb5cd0ccca913640b99ca380d92f1)
co oznacza, że należy obliczyć wynik działania operatora pomiaru na stan
układu w chwili
i pomnożyć wynik przez wektor sprzężony. Korzystając z zależności czasowej wektora stanu (wzory 1 i 2 powyżej), otrzymamy:
![{\displaystyle \langle O\rangle (t)=\langle \Psi (t)|{\hat {O}}\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t_{0})|U^{\dagger }(t,t_{0}){\hat {O}}U(t,t_{0})|\Psi (t_{0})\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c5df76e38e621df474f84844ab5ac4395911194)
Jeżeli oznaczymy
![{\displaystyle {\hat {O}}(t)=U^{\dagger }(t,t_{0}){\hat {O}}U(t,t_{0}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afe854e2c9ff8202669b8a90cd6e7b29fbda16a2)
to powyższy wzór przyjmie postać:
![{\displaystyle \langle O\rangle (t)=\langle \Psi (t_{0})|{\hat {O}}(t)\Psi (t_{0})\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d44b9925cefa85ddee2711ce87a25857598ec044)
Wartość oczekiwana z pomiaru w chwili
ma postać:
![{\displaystyle \langle O\rangle (t_{0})=\langle \Psi (t_{0})|{\hat {O}}(t_{0})\Psi (t_{0})\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebb83f1650f567a404a9f5bb988ed26e41465507)
Widać z powyższego, że wartość oczekiwaną z pomiaru można obliczać działając na wektor stanu operatorem pomiaru, którego postać ewoluuje w czasie zgodnie ze wzorem
Jest to tzw. obraz Heisenberga, w którym wektor stanu nie zmienia się z upływem czasu, ale zmieniają się operatory.
Inne przykłady macierzy unitarnych w fizyce
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia
- ClaudeC. Cohen-Tannoudji ClaudeC., Bernard Diu, Frank Laloë, Quantum Mechanics 1, New York: Hermann, 1977, ISBN 978-0471569527 .
Literatura dodatkowa
Linki zewnętrzne
- Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Unitary Matrix, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2022-07-02].
Niektóre typy macierzy | Cechy niezależne od bazy | |
---|
Cechy zależne od bazy | |
---|
|
---|
Operacje na macierzach | jednoargumentowe | |
---|
dwuargumentowe | |
---|
|
---|
Niezmienniki | |
---|
Inne pojęcia | |
---|