Moduł dualny

Wikipedia:Weryfikowalność
 Ten artykuł od 2012-02 wymaga zweryfikowania podanych informacji.
Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Moduł dualny – moduł form liniowych określonych na danym module. W przypadku przestrzeni liniowych skończonego wymiaru (zob. osobną sekcję), czy nawet skończenie generowanych modułów wolnych[a], elementy modułu dualnego do niego można uważać za „potencjalne funkcje współrzędnych” na tym module (wraz z funkcją zerową w celu uzyskania struktury modułu, por. przestrzeń funkcyjna); w ogólności spojrzenie to jest zbyt daleko idącym uproszczeniem (por. Przykłady).

Struktury te pojawiają się w różnych działach matematyki: w algebrze liniowej jako funkcje współrzędnych przestrzeni współrzędnych (tzw. rzuty na współrzędne), w analizie podczas całkowania na przestrzeni funkcji ciągłych, w geometrii przy definicji przestrzeni stycznej (pochodne kierunkowe), w teorii liczb jako różne ideały ciała liczbowego.

Definicja

Niech M , N {\displaystyle M,N} będą (lewostronnymi) modułami nad pierścieniem przemiennym R . {\displaystyle R.} Zbiór H o m R ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(M,N)} wszystkich homomorfizmów liniowych (tj. przekształceń liniowych) M → N {\displaystyle M\to N} sam ma strukturę modułu nazywanego modułem dualnym do M {\displaystyle M} względem N {\displaystyle N} [b]. Jeśli N = R , {\displaystyle N=R,} to H o m R ( M , R ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(M,R)} nazywa się po prostu modułem dualnym do M , {\displaystyle M,} bądź przestrzenią dualną lub sprzężoną (w przypadku przestrzeni liniowej M , {\displaystyle M,} czyli modułu nad ciałem R ; {\displaystyle R;} zob. Przestrzenie liniowe i przestrzeń funkcyjna), i oznacza symbolem M ⋆ {\displaystyle M^{\star }} [c].

Przypadek modułów dualnych względem siebie omówiono w artykule o parze dualnej koncentrując się w tym na modułach form liniowych nad pierścieniem R {\displaystyle R} (przemiennym z jedynką), o ile nie zaznaczono inaczej. Dalej H o m R ( X , Y ) {\displaystyle \mathrm {Hom} _{R}(X,Y)} będzie zapisywane po prostu H o m ( X , Y ) . {\displaystyle \mathrm {Hom} (X,Y).}

Sumy i produkty proste

Konstrukcja modułu dualnego jest przemienna (z dokładnością do izomorfizmu) z konstrukcją sumy prostej modułów: ( M ⊕ N ) ⋆ ≃ M ⋆ ⊕ N ⋆ {\displaystyle (M\oplus N)^{\star }\simeq M^{\star }\oplus N^{\star }} [d]. Ponieważ suma prosta modułów jest łączna (z dokładnością do izomorfizmu), to powyższa uwaga rozciąga się poprzez indukcję na sumy proste dowolnej skończonej liczbie składników: moduł dualny do sumy prostej modułów jest izomorficzny z sumą prostą modułów dualnych. Nie jest to jednak prawdą dla modułu dualnego do sumy prostej nieskończenie wielu modułów, który jest izomorficzny z produktem prostym modułów dualnych: jeśli ( M i ) {\displaystyle (M_{i})} jest rodziną modułów, to istnieje izomorfizm ( ⨁ M i ) ⋆ ≃ ∏ M i ⋆ {\displaystyle \left(\bigoplus M_{i}\right)^{\star }\simeq \prod M_{i}^{\star }} [e][f]. Wynika stąd, że dualizacja przekształca sumy proste w produkty proste; z drugiej strony istnieje zanurzenie sumy prostej modułów dualnych w module dualnym do produktu prostego modułów, lecz w ogólności brak izomorfizmu między tymi strukturami; nie mniej istnieje przekształcenie ( ⨁ M i ) ⋆ → ∏ M i ⋆ {\displaystyle \left(\bigoplus M_{i}\right)^{\star }\to \prod M_{i}^{\star }} będące iniekcją[g], które zwykle nie jest bijekcją (zob. ostatni przykład).

Dowolny skończenie generowany moduł wolny M {\displaystyle M} nad R {\displaystyle R} rangi n > 0 {\displaystyle n>0} ma postać M ≃ R n . {\displaystyle M\simeq R^{n}.} Moduł M ⋆ {\displaystyle M^{\star }} dualny do niego również jest tej postaci[h][i]; jeśli M {\displaystyle M} jest modułem wolnym nieskończonej rangi (tj. nieskończenie generowanym), to M ⋆ {\displaystyle M^{\star }} nie musi być wolny[j].

Bazy dualne

Niech M ≃ R n , {\displaystyle M\simeq R^{n},} wtedy też M ⋆ ≃ R n {\displaystyle M^{\star }\simeq R^{n}} (zob. poprzednią sekcję). Wybranie bazy ( e i ) {\displaystyle ({\mathsf {e}}_{i})} w M {\displaystyle M} sprawia, że każda forma liniowa φ ∈ M ⋆ {\displaystyle \varphi \in M^{\star }} jest całkowicie wyznaczona za pomocą wartości przyjmowanych na każdym elemencie bazy M {\displaystyle M} odwzorowując φ ∈ M ⋆ {\displaystyle \varphi \in M^{\star }} w element ( φ ( e 1 ) , … , φ ( e n ) ) ∈ R n {\displaystyle (\varphi ({\mathsf {e}}_{1}),\dots ,\varphi ({\mathsf {e}}_{n}))\in R^{n}} – jest to zanurzenie M ⋆ → R n , {\displaystyle M^{\star }\to R^{n},} które jest również suriekcją (w ten sposób powstaje każdy element R n {\displaystyle R^{n}} ): jeśli φ i ( c 1 e 1 + … + c n e n ) {\displaystyle \varphi _{i}(c_{1}{\mathsf {e}}_{1}+\ldots +c_{n}{\mathsf {e}}_{n})} są rzutami względem bazy ( e i ) {\displaystyle ({\mathsf {e}}_{i})} na każdą ze współrzędnych, to w danym zanurzeniu ta forma liniowa przechodzi na element bazowy e i ; {\displaystyle {\mathsf {e}}_{i};} oznacza to, że M ⋆ → R n {\displaystyle M^{\star }\to R^{n}} jest izomorfizmem, a stąd wspomniane rzuty tworzą bazę M ⋆ . {\displaystyle M^{\star }.}

Bazą dualną do bazy e 1 , … , e n {\displaystyle {\mathsf {e}}_{1},\dots ,{\mathsf {e}}_{n}} modułu M {\displaystyle M} nazywa się rzuty na poszczególne współrzędne wskazywane przez tę bazę, oznacza się je symbolami e 1 ⋆ , … , e n ⋆ {\displaystyle {\mathsf {e}}_{1}^{\star },\dots ,{\mathsf {e}}_{n}^{\star }} (wyżej: φ 1 , … , φ n {\displaystyle \varphi _{1},\dots ,\varphi _{n}} ). Wspomniane formy liniowe M → R {\displaystyle M\to R} wyznaczone są za pomocą warunków:

e i ⋆ ( e j ) = δ i j = { 1 dla  i = j , 0 dla  i ≠ j , {\displaystyle {\mathsf {e}}_{i}^{\star }({\mathsf {e}}_{j})=\delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{dla }}i=j,\\0&{\text{dla }}i\neq j,\end{cases}}}

gdzie δ i j {\displaystyle \delta _{ij}} jest tzw. deltą albo symbolem Kroneckera.

Dwukrotna dualność

 Zobacz też: transformacja naturalna.

W powyższym przypadku izomorfizm między M ⋆ {\displaystyle M^{\star }} a M {\displaystyle M} zależał od wyboru bazy – nie był on więc kanoniczny, gdyż moduł wolny nie ma wyróżnionej bazy. Jednakże istnieje wtedy naturalnie określony (tzn. niewymagający arbitralnych wyborów) izomorfizm między modułem M {\displaystyle M} a modułem M ⋆ ⋆ = ( M ⋆ ) ⋆ , {\displaystyle M^{\star \star }=\left(M^{\star }\right)^{\star },} nazywanym modułem dwukrotnie dualnym do modułu M . {\displaystyle M.}

Element M ⋆ ⋆ {\displaystyle M^{\star \star }} jest przekształceniem liniowym M ⋆ → R . {\displaystyle M^{\star }\to R.} Obliczenie wartości dla dowolnego elementu m ∈ M {\displaystyle {\mathsf {m}}\in M} jest przekształceniem M ⋆ → R , {\displaystyle M^{\star }\to R,} które jest liniowe,

( φ + ψ ) ( m ) = φ ( m ) + ψ ( m ) oraz ( r φ ) ( m ) = r φ ( m ) , {\displaystyle (\varphi +\psi )({\mathsf {m}})=\varphi ({\mathsf {m}})+\psi ({\mathsf {m}})\quad {\text{oraz}}\quad (r\varphi )({\mathsf {m}})=r\varphi ({\mathsf {m}}),}

wprost z definicji. Niech e v m : φ ↦ φ ( m ) {\displaystyle \mathrm {ev} _{\mathsf {m}}\colon \varphi \mapsto \varphi ({\mathsf {m}})} będzie wspomnianym przekształceniem obliczania wartości, tzw. ewaluacji, wtedy e v m ∈ M ⋆ ⋆ . {\displaystyle \mathrm {ev} _{\mathsf {m}}\in M^{\star \star }.} Przekształcenie M → M ⋆ ⋆ {\displaystyle M\to M^{\star \star }} dane wzorem m ↦ e v m {\displaystyle {\mathsf {m}}\mapsto \mathrm {ev} _{\mathsf {m}}} jest addytywne, gdyż

e v m + m ′ ( φ ) = φ ( m + m ′ ) = φ ( m ) + φ ( m ′ ) = e v m ( φ ) + e v m ′ ( φ ) = ( e v m + e v m ′ ) ( φ ) , {\displaystyle \mathrm {ev} _{{\mathsf {m}}+{\mathsf {m}}'}(\varphi )=\varphi ({\mathsf {m}}+{\mathsf {m}}')=\varphi ({\mathsf {m}})+\varphi ({\mathsf {m}}')=\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}(\varphi )+\mathrm {ev} _{{\mathsf {m}}'}(\varphi )=(\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}+\mathrm {ev} _{{\mathsf {m}}'})(\varphi ),}

czyli e v m + m ′ = e v m + e v m ′ {\displaystyle \mathrm {ev} _{{\mathsf {m}}+{\mathsf {m}}'}=\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}+\mathrm {ev} _{{\mathsf {m}}'}} (kluczowe jest, iż elementy M ⋆ {\displaystyle M^{\star }} są addytywne!); podobnie e v c m = c e v m , {\displaystyle \mathrm {ev} _{c{\mathsf {m}}}=c\mathrm {ev} _{\mathsf {m}},} co oznacza, że odwzorowanie m ↦ e v m {\displaystyle {\mathsf {m}}\mapsto \mathrm {ev} _{\mathsf {m}}} jest przekształceniem liniowym M → M ⋆ ⋆ {\displaystyle M\to M^{\star \star }} dla dowolnego modułu M {\displaystyle M} – bywa ono nazywane przekształceniem naturalnym.

Jeśli M {\displaystyle M} jest skończenie generowany i wolny, to przekształcenie naturalne M → M ⋆ ⋆ {\displaystyle M\to M^{\star \star }} jest izomorfizmem[k], które nazywa się izomorfizmem naturalnym między modułem a modułem dwukrotnie do niego dualnym. W izomorfizmie tym bazą M ⋆ ⋆ {\displaystyle M^{\star \star }} dualną do bazy dualnej ( e i ⋆ ) {\displaystyle ({\mathsf {e}}_{i}^{\star })} modułu dualnego M ⋆ {\displaystyle M^{\star }} jest baza ( e i ) , {\displaystyle ({\mathsf {e}}_{i}),} istotnie:

e v e i ( e j ⋆ ) = e j ⋆ ( e i ) = δ i j = { 1 dla  i = j , 0 dla  i ≠ j . {\displaystyle \mathrm {ev} _{{\mathsf {e}}_{i}}({\mathsf {e}}_{j}^{\star })={\mathsf {e}}_{j}^{\star }({\mathsf {e}}_{i})=\delta _{ij}={\begin{cases}1&{\text{dla }}i=j,\\0&{\text{dla }}i\neq j.\end{cases}}}

Moduły M , {\displaystyle M,} dla których istnieje izomorfizm M → M ⋆ ⋆ {\displaystyle M\to M^{\star \star }} (niekoniecznie naturalny!) nazywa się refleksywnymi.

Przekształcenia dualne

Niech L : M → N {\displaystyle \mathrm {L} \colon M\to N} będzie odwzorowaniem liniowym między dwoma modułami. Można je wykorzystać do przekształcenia form liniowych na M {\displaystyle M} w formy liniowe na N , {\displaystyle N,} mianowicie: jeśli φ ∈ N ⋆ , {\displaystyle \varphi \in N^{\star },} to φ ∘ L ∈ M ⋆ . {\displaystyle \varphi \circ \mathrm {L} \in M^{\star }.} Odwzorowanie L ⋆ : N ⋆ → M ⋆ {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }\colon N^{\star }\to M^{\star }} dane wzorem

L ⋆ ( φ ) = φ ∘ L {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }(\varphi )=\varphi \circ \mathrm {L} }

jest liniowe[l] – nazywa się je przekształceniem dualnym albo sprzężonym do L {\displaystyle \mathrm {L} } [m].

Przekształcenie ( ⋅ ) ⋆ : H o m ( M , N ) → H o m ( N ⋆ , M ⋆ ) , {\displaystyle (\cdot )^{\star }\colon \mathrm {Hom} (M,N)\to \mathrm {Hom} \left(N^{\star },M^{\star }\right),} nazywane tutaj dualizacją, dane wzorem L ↦ L ⋆ {\displaystyle \mathrm {L} \mapsto \mathrm {L} ^{\star }} również jest liniowe[n], a ponadto funktorialne, tj. zachowuje identyczność[o] oraz oddziałuje w określony sposób ze złożeniem (w tym wypadku odwraca jego porządek), mianowicie: jeśli L 1 : M → N {\displaystyle \mathrm {L} _{1}\colon M\to N} oraz L 2 : N → P {\displaystyle \mathrm {L} _{2}\colon N\to P} są przekształceniami liniowymi między modułami, to przekształcenie dualne P ⋆ → M ⋆ {\displaystyle P^{\star }\to M^{\star }} do złożenia L 2 ∘ L 1 : M → P {\displaystyle \mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1}\colon M\to P} dane jest wzorem ( L 2 ∘ L 1 ) ⋆ = L 1 ⋆ ∘ L 2 ⋆ {\displaystyle (\mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1})^{\star }=\mathrm {L} _{1}^{\star }\circ \mathrm {L} _{2}^{\star }} [p]. Wynika stąd, że jeżeli L : M → N {\displaystyle \mathrm {L} \colon M\to N} jest izomorfizmem modułów, to L ⋆ : N ⋆ → M ⋆ {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }\colon N^{\star }\to M^{\star }} jest izomorfizmem ich modułów dualnych, a ponadto ( L ⋆ ) − 1 = ( L − 1 ) ⋆ {\displaystyle \left(\mathrm {L} ^{\star }\right)^{-1}=\left(\mathrm {L} ^{-1}\right)^{\star }} [q].

Jeśli M , N {\displaystyle M,N} są skończenie generowanymi modułami wolnymi, to przekształcenie ( ⋅ ) ⋆ {\displaystyle (\cdot )^{\star }} jest izomorfizmem[r][s], a każde przekształcenie liniowe L : M → N {\displaystyle \mathrm {L} \colon M\to N} można utożsamiać z L ⋆ ⋆ : N ⋆ ⋆ → M ⋆ ⋆ {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star \star }\colon N^{\star \star }\to M^{\star \star }} poprzez izomorfizm naturalny[t][u]. Jeśli moduły te mają bazy odpowiednio E = ( e 1 , … , e m ) {\displaystyle E=({\mathsf {e}}_{1},\dots ,{\mathsf {e}}_{m})} oraz F = ( f 1 , … , f n ) , {\displaystyle F=({\mathsf {f}}_{1},\dots ,{\mathsf {f}}_{n}),} przy czym ich bazy dualne oznaczane będą kolejno E ⋆ = ( e 1 ⋆ , … , e m ⋆ ) {\displaystyle E^{\star }=({\mathsf {e}}_{1}^{\star },\dots ,{\mathsf {e}}_{m}^{\star })} oraz F ⋆ = ( f 1 ⋆ , … , f m ⋆ ) , {\displaystyle F^{\star }=({\mathsf {f}}_{1}^{\star },\dots ,{\mathsf {f}}_{m}^{\star }),} to macierze L = M ( L ) E F {\displaystyle \mathbf {L} =\mathrm {M} (\mathrm {L} )_{E}^{F}} typu n × m {\displaystyle n\times m} oraz L ⋆ = M ( L ⋆ ) F ⋆ E ⋆ {\displaystyle \mathbf {L} ^{\star }=\mathrm {M} (\mathrm {L} ^{\star })_{F^{\star }}^{E^{\star }}} typu m × n {\displaystyle m\times n} reprezentujące L {\displaystyle \mathrm {L} } i L ⋆ {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }} w odpowiednich bazach (zob. macierz przekształcenia liniowego) są transponowane jedna względem drugiej[v].

Twierdzenia z przedostatniego akapitu stanowią uogólnienie własności transpozycji macierzy nad pierścieniem R , {\displaystyle R,} kolejno ( c A + d B ) T = c A T + d B T , {\displaystyle (c\mathbf {A} +d\mathbf {B} )^{\mathrm {T} }=c\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+d\mathbf {B} ^{\mathrm {T} },} ( A B ) T = B T A T , {\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} },} ( c I ) T = c I T {\displaystyle (c\mathbf {I} )^{\mathrm {T} }=c\mathbf {I} ^{\mathrm {T} }} oraz ( A − 1 ) T = ( A T ) − 1 {\displaystyle (\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }=(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}} dla dowolnych macierzy A , B , {\displaystyle \mathbf {A} ,\mathbf {B} ,} dla których wspomniane działania mają sens. Mają one tę zasadniczą przewagę nad odpowiadającymi im twierdzeniami macierzowymi (które można by chcieć uzyskać na mocy twierdzenia z poprzedniego akapitu), iż zachodzą one dla modułów, które nie muszą być wolne i skończenie generowane. Tłumaczą one koncepcyjnie z jakiego powodu transpozycja macierzy odwraca porządek mnożenia, podobnie jak interpretacja mnożenia macierzy jako złożenia przekształceń tłumaczy łączność i nieprzemienność mnożenia macierzy poprzez łączność i nieprzemienność składania funkcji – w ten sposób transpozycja macierzy jest przypadkiem szczególnym konstrukcji przekształcenia dualnego dla skończenie generowanych modułów wolnych.

Dualizacja przekształca suriektywność w iniektywność: jeżeli L {\displaystyle \mathrm {L} } jest „na”, to L ⋆ {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }} jest „1-1”[w]. Jeśli L {\displaystyle \mathrm {L} } jest różnowartościowe, to M {\displaystyle M} można postrzegać jako podmoduł N , {\displaystyle N,} tzn. M ≃ L ( M ) ⊆ N ; {\displaystyle M\simeq \mathrm {L} (M)\subseteq N;} dla φ ∈ N ⋆ {\displaystyle \varphi \in N^{\star }} przekształcenie L ⋆ ( φ ) = φ ∘ L {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }(\varphi )=\varphi \circ \mathrm {L} } jest z tego punktu widzenia zawężeniem φ {\displaystyle \varphi } do podmodułu L ( M ) ⊆ N . {\displaystyle \mathrm {L} (M)\subseteq N.} Fakt, iż odwzorowanie L ⋆ {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }} jest „na” oznacza, że każda forma liniowa ψ : M → R {\displaystyle \psi \colon M\to R} jest postaci φ ∘ L , {\displaystyle \varphi \circ \mathrm {L} ,} co jest równoważne stwierdzeniu, iż każde przekształcenie liniowe L ( M ) → R {\displaystyle \mathrm {L} (M)\to R} można przedłużyć do przekształcenia liniowego N → R , {\displaystyle N\to R,} a więc N {\displaystyle N} ma taką własność, że wszystkie elementy modułu dualnego do podmodułu L ( M ) ⊆ N {\displaystyle \mathrm {L} (M)\subseteq N} przedłużają się do elementów modułu dualnego do N . {\displaystyle N.} W ogólności własność ta nie zachodzi[x]; istnieje jednak ważny przypadek, w którym dualizacja przekształca iniektywne przekształcenia liniowe w suriektywne – R {\displaystyle R} jest ciałem: niech M , N {\displaystyle M,N} będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K , {\displaystyle K,} wtedy jeśli przekształcenie L : M → N {\displaystyle \mathrm {L} \colon M\to N} jest „1-1”, to L ⋆ {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }} jest „na”[y] – twierdzenie to obowiązuje nie tylko dla przestrzeni liniowych skończonego wymiaru, lecz wszystkich przestrzeni liniowych: dowolna niezerowa przestrzeń liniowa ma bazę (twierdzenie Hamela), a bazę podprzestrzeni liniowej można rozszerzyć do bazy całej przestrzeni (twierdzenie Steinitza). Przypadek nieskończeniewymiarowy wymaga lematu Kuratowskiego-Zorna, a więc z pewnością nie jest konstruktywny. Z powyższego wynika także, że jeśli L : M → N {\displaystyle \mathrm {L} \colon M\to N} dla modułów M , N {\displaystyle M,N} jest „1-1”, a L ( M ) {\displaystyle \mathrm {L} (M)} jest składnikiem prostym N , {\displaystyle N,} to L ⋆ {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }} jest „na”[z][aa].

Przestrzenie liniowe

 Zobacz też: przestrzeń funkcyjna i przestrzeń dualna ciągłych form liniowych.

Ponieważ przestrzeń liniowa skończonego wymiaru nad danym ciałem ma formalnie strukturę modułu wolnego skończonej rangi (tj. skończenie generowanego, nad tym ciałem) – wolność oznacza istnienie bazy, a skończona ranga odpowiada skończonemu wymiarowi – to wszystkie wymienione wyżej własności modułów dualnych (do skończenie generowanych modułów wolnych) przenoszą się wprost na przestrzenie dualne (do przestrzeni liniowych).

Jeśli przestrzeń liniowa V {\displaystyle V} jest nieskończonego wymiaru, to za pomocą lematu Kuratowskiego-Zorna można wykazać, iż

dim K ⁡ V < dim K ⁡ V ⋆ < dim K ⁡ V ⋆ ⋆ , {\displaystyle \dim _{K}V<\dim _{K}V^{\star }<\dim _{K}V^{\star \star },}

co oznacza, że w ogólności V {\displaystyle V} nie jest izomorficzna, z przestrzenią dwukrotnie do niej dualną V ⋆ ⋆ {\displaystyle V^{\star \star }} (zob. ostatni przykład). W wielu jednak wypadkach przekształcenie naturalne V → V ⋆ ⋆ {\displaystyle V\to V^{\star \star }} jest izomorfizmem zupełnie jak w przypadku skończeniewymiarowym.

W analizie często rozpatruje się nieskończeniewymiarowe przestrzenie liniowe V {\displaystyle V} nad ciałami liczb rzeczywistych R {\displaystyle \mathbb {R} } lub zespolonych C . {\displaystyle \mathbb {C} .} Zwykle jest na niej określona pewna topologia; chcąc ją uwzględnić (zachować) przestrzeń dualną V ′ {\displaystyle V'} definiuje się jako przestrzeń tylko tych form liniowych na V , {\displaystyle V,} które są ciągłe (w tej topologii, nie zaś wszystkich). Ta „topologiczna” przestrzeń dualna V ′ {\displaystyle V'} jest znacznie mniejsza niż wyłącznie „algebraiczna” przestrzeń dualna V ⋆ {\displaystyle V^{\star }} i sama może być wyposażona w dogodną topologię – dla odróżnienia nazywa się je też przestrzeniami sprzężonymi algebraicznie oraz topologicznie. W przypadku skończeniewymiarowym zachodzi V ′ = V ⋆ , {\displaystyle V'=V^{\star },} gdyż nie istnieją wtedy nieciągłe formy liniowe określone na V . {\displaystyle V.}

Przykłady

Przykładami funkcjonałów na przestrzeni euklidesowej R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} są rzuty na współrzędne standardowe:

c 1 e 1 + … + c n e n ↦ c i . {\displaystyle c_{1}\mathbf {e} _{1}+\ldots +c_{n}\mathbf {e} _{n}\mapsto c_{i}.}

Ogólniej, branie iloczynu skalarnego przez ustalony wektor R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} daje element przestrzeni dualnej: niech dla każdego v ∈ R n {\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}} dana będzie forma φ v : R n → R {\displaystyle \varphi _{\mathbf {v} }\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } wzorem

φ v ( w ) = v ⋅ w = v 1 w 1 + … + v n w n . {\displaystyle \varphi _{\mathbf {v} }(\mathbf {w} )=\mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =v_{1}w_{1}+\ldots +v_{n}w_{n}.}

Rzuty na współrzędne standardowe uzyskuje się biorąc v {\displaystyle \mathbf {v} } będące wektorami bazy standardowej e 1 , … , e n . {\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}.} Izomorfizm R n ≃ ( R n ) ⋆ {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\simeq \left(\mathbb {R} ^{n}\right)^{\star }} ustala przekształcenie v ↦ φ v , {\displaystyle \mathbf {v} \mapsto \varphi _{\mathbf {v} },} tj. wyżej wskazane elementy przestrzeni dualnej są już wszystkimi możliwymi[ab]. Analogicznie ma się rzecz z dowolnym modułem R n {\displaystyle R^{n}} (wystarczy wyżej zamienić „wektor” u {\displaystyle \mathbf {u} } na „element” u {\displaystyle {\mathsf {u}}} oraz „przestrzeń dualna” na „moduł dualny”). W szczególności R ⋆ = H o m ( R , R ) {\displaystyle R^{\star }=\mathrm {Hom} (R,R)} jest izomorficzny z R {\displaystyle R} w tym sensie, iż każde przekształcenie liniowe R → R {\displaystyle R\to R} jest postaci φ a ( r ) = a r {\displaystyle \varphi _{a}(r)=ar} dla danego a ∈ R {\displaystyle a\in R} [ac].

Niech R = Z , {\displaystyle R=\mathbb {Z} ,} tj. rozważane R {\displaystyle R} -moduły będą grupami abelowymi; dla danej grupy abelowej A {\displaystyle A} jej Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -dualną do niej jest A ⋆ = H o m ( A , Z ) . {\displaystyle A^{\star }=\mathrm {Hom} (A,\mathbb {Z} ).} Jeśli A = Z n , {\displaystyle A=\mathbb {Z} ^{n},} to A ⋆ {\displaystyle A^{\star }} można utożsamiać z A {\displaystyle A} za pomocą iloczynu skalarnego zupełnie jak wyżej. Z drugiej strony jednak, jeśli A = Q {\displaystyle A=\mathbb {Q} } będzie traktowana jako Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -moduł, to Q ⋆ = H o m ( Q , Z ) {\displaystyle \mathbb {Q} ^{\star }=\mathrm {Hom} (\mathbb {Q} ,\mathbb {Z} )} jest trywialny[ad]; traktując z kolei Q {\displaystyle \mathbb {Q} } jako przestrzeń Q {\displaystyle \mathbb {Q} } -liniową otrzymuje się nietrywialną Q ⋆ = H o m ( Q , Q ) {\displaystyle \mathbb {Q} ^{\star }=\mathrm {Hom} (\mathbb {Q} ,\mathbb {Q} )} [ae] – uzmysławia to istotność uwzględniania pierścienia, nad którym rozpatruje się moduł dualny do danego. Jeżeli A {\displaystyle A} jest skończoną grupą abelową, to jej Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -dualna jest zerowa[af][ag]; przykładowo: jeśli A = Z ⊕ ( Z / 2 Z ) , {\displaystyle A=\mathbb {Z} \oplus (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ),} to A ⋆ ≃ Z ⋆ ⊕ ( Z / 2 Z ) ⋆ = Z ⋆ , {\displaystyle A^{\star }\simeq \mathbb {Z} ^{\star }\oplus (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{\star }=\mathbb {Z} ^{\star },} a ponieważ Z ⋆ ≃ Z {\displaystyle \mathbb {Z} ^{\star }\simeq \mathbb {Z} } z pierwszego przykładu, to A {\displaystyle A} składa się z funkcji f k ( x , y ) = k x {\displaystyle f_{k}(x,y)=kx} dla różnych k ∈ Z {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } (por. podgrupa torsyjna i ranga grupy abelowej).

Niech R {\displaystyle R} będzie dziedziną całkowitości z ciałem ułamków K , {\displaystyle K,} a I {\displaystyle I} będzie ideałem w R . {\displaystyle R.} Wówczas I ⋆ = H o m ( I , R ) {\displaystyle I^{\star }=\mathrm {Hom} (I,R)} można interpretować jako { c ∈ K : c I ⊆ R } {\displaystyle \{c\in K\colon cI\subseteq R\}} [ah]. Jeżeli R = Z [ X ] , {\displaystyle R=\mathbb {Z} [X],} zaś I = ( 2 , X ) {\displaystyle I=(2,X)} jest ideałem maksymalnym tej dziedziny z jednoznacznością rozkładu, to ponieważ 2 , X {\displaystyle 2,X} są w niej względnie pierwsze, to

I ⋆ = { f ∈ Q ( X ) : f I ⊆ R } = { f ∈ Q ( X ) : 2 f ∈ Z [ X ]  i  X f ∈ Z [ X ] } = Z [ X ] , {\displaystyle I^{\star }={\big \{}f\in \mathbb {Q} (X)\colon fI\subseteq R{\big \}}={\big \{}f\in \mathbb {Q} (X)\colon 2f\in \mathbb {Z} [X]{\text{ i }}Xf\in \mathbb {Z} [X]{\big \}}=\mathbb {Z} [X],}

tj. jedynymi przekształceniami Z [ X ] {\displaystyle \mathbb {Z} [X]} -liniowymi ( 2 , X ) → Z [ X ] {\displaystyle (2,X)\to \mathbb {Z} [X]} są mnożenia h ↦ g h {\displaystyle h\mapsto gh} dla g ∈ Z [ X ] . {\displaystyle g\in \mathbb {Z} [X].}

Niech R = R , {\displaystyle R=\mathbb {R} ,} a M = N = C ; {\displaystyle M=N=\mathbb {C} ;} baza dualna { f 1 , f 2 } {\displaystyle \{f_{1},f_{2}\}} przestrzeni liniowej C ⋆ {\displaystyle \mathbb {C} ^{\star }} do bazy standardowej { 1 , i } {\displaystyle \{1,i\}} przestrzeni R {\displaystyle \mathbb {R} } -liniowej C {\displaystyle \mathbb {C} } jest postaci { R e , I m } {\displaystyle \{\mathrm {Re} ,\mathrm {Im} \}} [ai]. Niech odwzorowanie L : C → C {\displaystyle \mathrm {L} \colon \mathbb {C} \to \mathbb {C} } dane będzie wzorem L ( z ) = ( 2 + i ) z + z ¯ ; {\displaystyle \mathrm {L} (z)=(2+i)z+{\overline {z}};} jest ono R {\displaystyle \mathbb {R} } -liniowe, przy czym L ( 1 ) = 3 + i {\displaystyle \mathrm {L} (1)=3+i} oraz L ( i ) = − 1 + i . {\displaystyle \mathrm {L} (i)=-1+i.} W bazie standardowej (dla dziedziny i przeciwdziedziny) C {\displaystyle \mathbb {C} } przekształcenie L {\displaystyle \mathrm {L} } reprezentowane jest za pomocą macierzy [ 3 − 1 1   1 ] . {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}3&-1\\1&\ 1\end{smallmatrix}}\right].} Macierzą L ⋆ {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }} w bazie { R e , I m } {\displaystyle \{\mathrm {Re} ,\mathrm {Im} \}} przestrzeni C ⋆ {\displaystyle \mathbb {C} ^{\star }} jest macierz [   3 1 − 1 1 ] {\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}\ 3&1\\-1&1\end{smallmatrix}}\right]} transponowana do macierzy odwzorowania L {\displaystyle \mathrm {L} } [aj] (zob. macierz przekształcenia liniowego).

Jeśli R = R , {\displaystyle R=\mathbb {R} ,} zaś M = R [ X ] {\displaystyle M=\mathbb {R} [X]} oraz N = R 2 , {\displaystyle N=\mathbb {R} ^{2},} a ponadto L : M → N {\displaystyle \mathrm {L} \colon M\to N} dane jest wzorem L f ( X ) = f ( 0 ) , f ( 1 ) , {\displaystyle \mathrm {L} f(X)=f(0),f(1),} to odwzorowanie φ : R 2 → R {\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } dane wzorem φ ( x , y ) = 2 x + 3 y {\displaystyle \varphi (x,y)=2x+3y} należy do przestrzeni dualnej do R 2 , {\displaystyle \mathbb {R} ^{2},} a złożenie φ ∘ L , {\displaystyle \varphi \circ \mathrm {L} ,} które przeprowadza f ( X ) {\displaystyle f(X)} na 2 f ( 0 ) + 3 f ( 1 ) {\displaystyle 2f(0)+3f(1)} należy do przestrzeni dualnej do R [ X ] {\displaystyle \mathbb {R} [X]} – złożeniem tym jest L ⋆ ( φ ) . {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }(\varphi ).}

Niech K {\displaystyle K} będzie ciałem skończonym (np. Z / p Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} } dla liczby pierwszej p {\displaystyle p} ), a zbiór V = ⨁ K {\displaystyle V=\bigoplus K} będzie sumą prostą przeliczalnie wielu egzemplarzy K . {\displaystyle K.} Zbiór ten jest przeliczalny, z kolei zbiór V ⋆ ≃ ∏ ( K ⋆ ) {\displaystyle V^{\star }\simeq \prod (K^{\star })} jest nieprzeliczalny (zob. Sumy i produkty proste). Przekształcenie dualne do włożenia ⨁ K ↪ ∏ K {\displaystyle \bigoplus K\hookrightarrow \prod K} jest suriekcją (zob. Przekształcenia dualne) przestrzeni dualnych w odwrotnym porządku: ( ∏ K ) ⋆ → → ( ⨁ K ) ⋆ = V ⋆ ; {\displaystyle \left(\prod K\right)^{\star }\to \!\!\!\!\!\to \left(\bigoplus K\right)^{\star }=V^{\star };} w ten sposób ( ∏ K ) ⋆ {\displaystyle \left(\prod K\right)^{\star }} jest zbiorem nieprzeliczalnym jako dziedzina suriekcji na zbiór nieprzeliczalny. Ponieważ K ⋆ ≃ K {\displaystyle K^{\star }\simeq K} jako przestrzenie liniowe (wymiaru jeden) oraz V ⋆ ⋆ ≃ ( ∏ K ⋆ ) ⋆ ≃ ( ∏ K ) ⋆ , {\displaystyle V^{\star \star }\simeq \left(\prod K^{\star }\right)^{\star }\simeq \left(\prod K\right)^{\star },} to V ⋆ ⋆ {\displaystyle V^{\star \star }} jest nieprzeliczalny. Wynika stąd, że przekształcenie naturalne V → V ⋆ ⋆ {\displaystyle V\to V^{\star \star }} (a w istocie żadne przekształcenie tego rodzaju) nie jest suriektywne.

Zobacz też

Uwagi

  1. ↑ Tzn. modułów, w których można wskazać skończoną bazę; odpowiedników skończeniewymiarowych przestrzeni liniowych, w których skalary tworzą pierścień, a nie ciało (zob. Sumy i produkty proste).
  2. ↑ Jeśli R {\displaystyle R} nie byłby przemienny, to wzór ( r φ ) ( m ) = r φ ( m ) {\displaystyle (r\varphi )({\mathsf {m}})=r\varphi ({\mathsf {m}})} definiuje przekształcenie M → N , {\displaystyle M\to N,} które nie musi być liniowe.
  3. ↑ Niekiedy spotyka się oznaczenie M ∨ . {\displaystyle M^{\vee }.}
  4. ↑ Jeśli φ ∈ ( M ⊕ N ) ⋆ , {\displaystyle \varphi \in (M\oplus N)^{\star },} to f ∈ M ⋆ , g ∈ N ⋆ {\displaystyle f\in M^{\star },g\in N^{\star }} dane wzorami f ( m ) = φ ( m , 0 ) , g ( n ) = φ ( 0 , n ) {\displaystyle f({\mathsf {m}})=\varphi ({\mathsf {m}},{\mathsf {0}}),g({\mathsf {n}})=\varphi ({\mathsf {0}},{\mathsf {n}})} umożliwiają zdefiniowanie przekształcenia liniowego ( M ⊕ N ) ⋆ → M ⋆ ⊕ N ⋆ {\displaystyle (M\oplus N)^{\star }\to M^{\star }\oplus N^{\star }} wzorem φ ↦ ( f , g ) . {\displaystyle \varphi \mapsto (f,g).} Na odwrót, jeśli ( f , g ) ∈ M ⋆ ⊕ N ⋆ , {\displaystyle (f,g)\in M^{\star }\oplus N^{\star },} to przekształcenie φ : M ⊕ N → R {\displaystyle \varphi \colon M\oplus N\to R} dane wzorem φ ( m , n ) = f ( m ) + g ( n ) {\displaystyle \varphi ({\mathsf {m}},{\mathsf {n}})=f({\mathsf {m}})+g({\mathsf {n}})} definiuje formę φ ∈ ( M ⊕ N ) ⋆ . {\displaystyle \varphi \in (M\oplus N)^{\star }.} Kończy to konstrukcję przekształcenia liniowego M ⋆ ⊕ N ⋆ → ( M ⊕ N ) ⋆ {\displaystyle M^{\star }\oplus N^{\star }\to (M\oplus N)^{\star }} odwrotnego do powyższego.
  5. ↑ Jeśli φ ∈ ( ⨁ M i ) ⋆ , {\displaystyle \varphi \in \left(\bigoplus M_{i}\right)^{\star },} tzn. φ : ⨁ M i → R , {\displaystyle \varphi \colon \bigoplus M_{i}\to R,} to M i {\displaystyle M_{i}} można postrzegać jako podmoduł ⨁ M i {\displaystyle \bigoplus M_{i}} w standardowy sposób; wówczas zawężenie φ | M i {\displaystyle \varphi |_{M_{i}}} jest przekształceniem liniowym należącym do produktu ∏ M i ⋆ , {\displaystyle \prod M_{i}^{\star },} przy czym brak jakichkolwiek przesłanek za tym, by większość z tych przekształceń była zerowa, dlatego zbiór zawężeń nie tworzy zwykle sumy prostej M i ⋆ . {\displaystyle M_{i}^{\star }.} Oto konstrukcja przekształcenia odwrotnego do przekształcenia liniowego ( ⨁ M i ) ⋆ → ∏ M i ⋆ {\displaystyle \left(\bigoplus M_{i}\right)^{\star }\to \prod M_{i}^{\star }} danego wzorem φ ↦ ( φ | M i ) . {\displaystyle \varphi \mapsto (\varphi |_{M_{i}}).} Niech dla dowolnego ( ψ i ) ∈ ∏ M i ⋆ {\displaystyle (\psi _{i})\in \prod M_{i}^{\star }} dany będzie ψ ∈ ( ⨁ M i ) ⋆ {\displaystyle \psi \in \left(\bigoplus M_{i}\right)^{\star }} wzorem ψ ( ( m i ) ) = ∑ ψ i ( m i ) . {\displaystyle \psi {\big (}({\mathsf {m}}_{i}){\big )}=\sum \psi _{i}({\mathsf {m}}_{i}).} Suma ta jest skończona, gdyż ( m i ) {\displaystyle ({\mathsf {m}}_{i})} należy do sumy prostej, zatem prawie wszystkie m i {\displaystyle {\mathsf {m}}_{i}} (wszystkie poza skończoną liczbą) są zerowe. Przekształcenie to jest liniowe, zatem należy do modułu dualnego do ⨁ M i . {\displaystyle \bigoplus M_{i}.} Stąd odwzorowanie ( ψ i ) ↦ ψ {\displaystyle (\psi _{i})\mapsto \psi } jest przekształceniem liniowym ∏ M i ⋆ → ( ⨁ M i ) ⋆ {\displaystyle \prod M_{i}^{\star }\to \left(\bigoplus M_{i}\right)^{\star }} odwrotnym do skonstruowanego na początku.
  6. ↑ W przytoczonym dowodzie nieistotne było użycie modułów dualnych – możliwe jest sformułowanie twierdzenia dla modułów dualnych względem siebie; ma ono wówczas postać: H o m ( ⨁ M i , N ) ≃ ∏ H o m ( M i , N ) . {\displaystyle \mathrm {Hom} \left(\bigoplus M_{i},N\right)\simeq \prod \mathrm {Hom} (M_{i},N).} Przyjęcie N = R {\displaystyle N=R} daje pierwotne stwierdzenie.
  7. ↑ Niech ( φ i ) ∈ ⨁ M i ⋆ , {\displaystyle (\varphi _{i})\in \bigoplus M_{i}^{\star },} a więc wszystkie, poza skończoną liczbą, przekształcenia φ i {\displaystyle \varphi _{i}} są zerowe; za ich pomocą można zapisać przekształcenie liniowe φ {\displaystyle \varphi } w produkt prosty wzorem φ ( ( m i ) ) = ∑ φ i ( m i ) , {\displaystyle \varphi {\big (}({\mathsf {m}}_{i}){\big )}=\sum \varphi _{i}({\mathsf {m}}_{i}),} przy czym suma ta w istocie jest skończona (ma tylko skończenie wiele niezerowych elementów). Funkcja ( φ i ) ↦ φ {\displaystyle (\varphi _{i})\mapsto \varphi } jest odwzorowaniem liniowym z ⨁ M i ⋆ {\displaystyle \bigoplus M_{i}^{\star }} w ( ∏ M i ) ⋆ {\displaystyle \left(\prod M_{i}\right)^{\star }} – jest ono iniektywne, gdyż ( φ i ) {\displaystyle (\varphi _{i})} można odzyskać z φ {\displaystyle \varphi } przyjmując φ i ( m i ) = φ ( m ) , {\displaystyle \varphi _{i}({\mathsf {m}}_{i})=\varphi ({\mathsf {m}}),} gdzie wszystkie współrzędne poza i {\displaystyle i} -tą równą m i {\displaystyle {\mathsf {m}}_{i}} są zerowe.
  8. ↑ Przypadek n = 0 {\displaystyle n=0} dający M = 0 {\displaystyle M=0} jest trywialny: wówczas M ⋆ = 0 , {\displaystyle M^{\star }=0,} gdyż jedynym odwzorowaniem liniowym 0 → R {\displaystyle 0\to R} jest forma zerowa.
  9. ↑ Jeżeli M ≃ R n , {\displaystyle M\simeq R^{n},} to M ⋆ ≃ ( R n ) ⋆ ≃ R n . {\displaystyle M^{\star }\simeq \left(R^{n}\right)^{\star }\simeq R^{n}.} Jeśli L : M → R n {\displaystyle \mathrm {L} \colon M\to R^{n}} jest izomorfizmem, to izomorfizm M ⋆ ≃ ( R n ) ⋆ {\displaystyle M^{\star }\simeq \left(R^{n}\right)^{\star }} dany jest poprzez φ ↦ φ ∘ L , {\displaystyle \varphi \mapsto \varphi \circ \mathrm {L} ,} gdzie φ : R n → R {\displaystyle \varphi \colon R^{n}\to R} jest formą liniową, a izomorfizm φ p : R n → ( R n ) ⋆ {\displaystyle \varphi _{\mathsf {p}}\colon R^{n}\to \left(R^{n}\right)^{\star }} ma postać φ p ( q ) = ⟨ p , q ⟩ = ∑ p i q i . {\displaystyle \varphi _{\mathsf {p}}({\mathsf {q}})=\langle {\mathsf {p}},{\mathsf {q}}\rangle =\sum p_{i}q_{i}.}
  10. ↑ Niech R = Z , {\displaystyle R=\mathbb {Z} ,} zaś M = ⨁ Z {\displaystyle M=\bigoplus \mathbb {Z} } będzie modułem wolnym przeliczalnej rangi, wówczas M ⋆ = H o m ( M , Z ) {\displaystyle M^{\star }=\mathrm {Hom} (M,\mathbb {Z} )} jest izomorficzny z ∏ Z , {\displaystyle \prod \mathbb {Z} ,} który nie jest Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -modułem wolnym. Jeśli ∏ Z {\displaystyle \prod \mathbb {Z} } byłby wolny, to wolny byłby dowolny podmoduł modułu wolnego nad dziedziną ideałów głównych (zob. grupa Baera-Speckera, por. twierdzenie strukturalne dla skończenie generowanych modułów nad dziedziną ideałów głównych). Niech N ⊆ ∏ Z {\displaystyle N\subseteq \prod \mathbb {Z} } będzie modułem składającym się z takich (nieskończonych) ciągów całkowitych ( a i ) , {\displaystyle (a_{i}),} że najwyższa potęga 2 {\displaystyle 2} dzieląca a k {\displaystyle a_{k}} dąży do ∞ {\displaystyle \infty } dla k → ∞ {\displaystyle k\to \infty } (przykładami są a k = 2 k , {\displaystyle a_{k}=2^{k},} czy a k = k ! , {\displaystyle a_{k}=k!,} jak również dowolny ciąg, dla którego a k = 0 {\displaystyle a_{k}=0} dla dużych wszystkich k ; {\displaystyle k;} kontrprzykładem jest a k = k {\displaystyle a_{k}=k} ). Niech e i ∈ N {\displaystyle {\mathsf {e}}_{i}\in N} ma i {\displaystyle i} -tą współrzędną równą 1 , {\displaystyle 1,} a pozostałe równe 0. {\displaystyle 0.} Elementy te nie tworzą bazy N , {\displaystyle N,} gdyż nie są nawet jej zbiorem generatorów; jednakże każdy element N / 2 N {\displaystyle N/2N} ma tylko skończenie wiele niezerowych współrzędnych, a więc redukcje e i ¯ {\displaystyle {\overline {{\mathsf {e}}_{i}}}} w N / 2 N {\displaystyle N/2N} generują Z / 2 Z , {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,} a przy tym są tam liniowo niezależne, a więc tworzą bazę N / 2 N , {\displaystyle N/2N,} skąd N / 2 N {\displaystyle N/2N} ma przeliczalny wymiar nad Z / 2 Z . {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .} Jeżeli N {\displaystyle N} byłby wolny, to niech ( α i ) {\displaystyle (\alpha _{i})} oznacza Z {\displaystyle \mathbb {Z} } -bazę modułu N ; {\displaystyle N;} wówczas N = ⨁ Z α i , {\displaystyle N=\bigoplus \mathbb {Z} \alpha _{i},} czyli N / 2 N = ⨁ ( Z / 2 Z ) α i ¯ . {\displaystyle N/2N=\bigoplus (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ){\overline {\alpha _{i}}}.} Ponieważ N / 2 N {\displaystyle N/2N} ma przeliczalny wymiar nad Z / 2 Z , {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,} to zbiór wskaźników (dla i {\displaystyle i} ) również musi być przeliczalny, a więc N {\displaystyle N} ma przeliczalną bazę i przeliczalny pierścień skalarów Z , {\displaystyle \mathbb {Z} ,} co daje przeliczalność N . {\displaystyle N.} Z drugiej jednak strony funkcja ∏ Z → N {\displaystyle \prod \mathbb {Z} \to N} dana wzorem ( a i ) ↦ ( 2 i a i ) {\displaystyle (a_{i})\mapsto (2^{i}a_{i})} jest iniektywna, a więc N {\displaystyle N} jest nieprzeliczalny, gdyż ∏ Z {\displaystyle \prod \mathbb {Z} } jest nieprzeliczalny. Stąd N {\displaystyle N} nie jest wolny, a co za tym idzie ∏ Z {\displaystyle \prod \mathbb {Z} } również.
  11. ↑ Niech ( e i ) {\displaystyle ({\mathsf {e}}_{i})} będzie bazą M , {\displaystyle M,} a ( e i ⋆ ) {\displaystyle ({\mathsf {e}}_{i}^{\star })} będzie stowarzyszoną z nią bazą M ⋆ . {\displaystyle M^{\star }.} Każdy niezerowy element m ∈ M {\displaystyle {\mathsf {m}}\in M} ma niezerową współrzędną względem wybranej bazy, zatem e i ⋆ ( m ) ≠ 0 {\displaystyle e_{i}^{\star }({\mathsf {m}})\neq 0} dla pewnego i . {\displaystyle i.} Stąd e v m ( e i ⋆ ) ≠ 0 , {\displaystyle \mathrm {ev} _{\mathsf {m}}({\mathsf {e}}_{i}^{\star })\neq 0,} co oznacza, że e v m {\displaystyle \mathrm {ev} _{\mathsf {m}}} jest niezerowym elementem M ⋆ ⋆ . {\displaystyle M^{\star \star }.} Tym samym jedynym m , {\displaystyle {\mathsf {m}},} dla którego e v m {\displaystyle \mathrm {ev} _{\mathsf {m}}} jest zerem w M ⋆ ⋆ {\displaystyle M^{\star \star }} jest element 0 , {\displaystyle 0,} skąd wynika, że dane odwzorowanie M → M ⋆ ⋆ {\displaystyle M\to M^{\star \star }} jest iniektywne. Pozostaje jeszcze wykazać, że każdy element M ⋆ ⋆ {\displaystyle M^{\star \star }} jest pewnym e v m ; {\displaystyle \mathrm {ev} _{\mathsf {m}};} niech f ∈ M ⋆ ⋆ , {\displaystyle f\in M^{\star \star },} należy wskazać m , {\displaystyle {\mathsf {m}},} dla którego f = e v m , {\displaystyle f=\mathrm {ev} _{\mathsf {m}},} tj. f ( φ ) = φ ( m ) {\displaystyle f(\varphi )=\varphi ({\mathsf {m}})} dla dowolnego φ ∈ M ⋆ . {\displaystyle \varphi \in M^{\star }.} Ponieważ obie strony tego równania są liniowe ze względu na φ , {\displaystyle \varphi ,} to wystarczy wyznaczyć m , {\displaystyle {\mathsf {m}},} które spełnia to równanie dla φ {\displaystyle \varphi } przebiegającego bazę dualną ( e i ⋆ ) , {\displaystyle ({\mathsf {e}}_{i}^{\star }),} która rozpina M ⋆ . {\displaystyle M^{\star }.} Niech a i = f ( e i ⋆ ) ∈ R {\displaystyle a_{i}=f({\mathsf {e}}_{i}^{\star })\in R} oraz m = ∑ a i e i ∈ M . {\displaystyle {\mathsf {m}}=\sum a_{i}{\mathsf {e}}_{i}\in M.} Wówczas f ( e i ⋆ ) = a i = e i ⋆ ( m ) , {\displaystyle f({\mathsf {e}}_{i}^{\star })=a_{i}={\mathsf {e}}_{i}^{\star }({\mathsf {m}}),} czyli f = e v m , {\displaystyle f=\mathrm {ev} _{\mathsf {m}},} co oznacza, że dane przekształcenie M → M ⋆ ⋆ {\displaystyle M\to M^{\star \star }} jest suriektywne.
  12. ↑ Jeśli φ , ψ ∈ N ⋆ {\displaystyle \varphi ,\psi \in N^{\star }} i m ∈ M , {\displaystyle {\mathsf {m}}\in M,} to
    ( L ⋆ ( φ + ψ ) ) ( m ) {\displaystyle (\mathrm {L} ^{\star }(\varphi +\psi ))({\mathsf {m}})} = ( φ + ψ ) ( L ( m ) ) {\displaystyle =(\varphi +\psi )(\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))} = φ ( L ( m ) ) + ψ ( L ( m ) ) {\displaystyle =\varphi (\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))+\psi (\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))} = ( L ⋆ ( φ ) ) ( m ) + ( L ⋆ ( ψ ) ) ( m ) {\displaystyle =(\mathrm {L} ^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})+(\mathrm {L} ^{\star }(\psi ))({\mathsf {m}})} = ( L ⋆ ( φ ) + L ⋆ ( ψ ) ) ( m ) . {\displaystyle =(\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )+\mathrm {L} ^{\star }(\psi ))({\mathsf {m}}).}
    Ponadto dla c ∈ R {\displaystyle {\mathsf {c}}\in R} zachodzi
    ( L ⋆ ( c φ ) ) ( m ) {\displaystyle (\mathrm {L} ^{\star }(c\varphi ))({\mathsf {m}})} = ( c φ ) ( L ( m ) ) {\displaystyle =(c\varphi )(\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))} = c φ ( L ( m ) ) {\displaystyle =c\varphi (\mathrm {L} ({\mathsf {m}}))} = c ( L ⋆ ( φ ) ) ( m ) {\displaystyle =c(\mathrm {L} ^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})} = c L ⋆ ( φ ) ( m ) . {\displaystyle =c\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )({\mathsf {m}}).}
    Równości te zachodzą dla dowolnego m ∈ M , {\displaystyle {\mathsf {m}}\in M,} zatem L ⋆ ( φ + ψ ) = L ⋆ ( φ ) + L ⋆ ( ψ ) {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }(\varphi +\psi )=\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )+\mathrm {L} ^{\star }(\psi )} oraz L ⋆ ( c φ ) = c L ⋆ ( φ ) {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }(c\varphi )=c\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )} należą do M ⋆ . {\displaystyle M^{\star }.}
  13. ↑ Jeśli ⟨ ⋅ , ⋅ ⟩ : M × M ⋆ → R {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon M\times M^{\star }\to R} oraz [ ⋅ , ⋅ ] : N × N ⋆ → R {\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon N\times N^{\star }\to R} oznaczają odpowiednio parowania modułów M , N {\displaystyle M,N} z modułami do nich dualnymi, to przekształcenie dualne można scharakteryzować za pomocą tożsamości ⟨ m , L ⋆ ( φ ) ⟩ = [ L ( m ) , φ ] {\displaystyle \langle {\mathsf {m}},\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )\rangle =[\mathrm {L} ({\mathsf {m}}),\varphi ]} (por. sprzężenie hermitowskie).
  14. ↑ Należy wykazać, że dla L 1 , L 2 ∈ H o m ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {L} _{1},\mathrm {L} _{2}\in \mathrm {Hom} (M,N)} zachodzi ( L 1 + L 2 ) ⋆ = L 1 ⋆ + L 2 ⋆ , {\displaystyle (\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }=\mathrm {L} _{1}^{\star }+\mathrm {L} _{2}^{\star },} tzn. ( L 1 + L 2 ) ⋆ ( φ ) = L 1 ⋆ ( φ ) + L 2 ⋆ ( φ ) {\displaystyle (\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }(\varphi )=\mathrm {L} _{1}^{\star }(\varphi )+\mathrm {L} _{2}^{\star }(\varphi )} dla dowolnego φ ∈ N ⋆ . {\displaystyle \varphi \in \mathrm {N} ^{\star }.} Obie strony tej równości należą do M ⋆ , {\displaystyle M^{\star },} zatem równość należy sprawdzić dla dowolnego m ∈ M . {\displaystyle {\mathsf {m}}\in M.} Zachodzi
    ( ( L 1 + L 2 ) ⋆ ( φ ) ) ( m ) {\displaystyle ((\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})} = ( φ ∘ ( L 1 + L 2 ) ) ( m ) {\displaystyle =(\varphi \circ (\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2}))({\mathsf {m}})} = φ ( ( L 1 + L 2 ) ( m ) ) {\displaystyle =\varphi ((\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})({\mathsf {m}}))} = φ ( L 1 ( m ) + L 2 ( m ) ) {\displaystyle =\varphi (\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}})+\mathrm {L} _{2}({\mathsf {m}}))} = φ ( L 1 ( m ) ) + φ ( L 2 ( m ) ) {\displaystyle =\varphi (\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}}))+\varphi (\mathrm {L} _{2}({\mathsf {m}}))}
    oraz
    ( ( L 1 ⋆ + L 2 ⋆ ) ( φ ) ) ( m ) {\displaystyle ((\mathrm {L} _{1}^{\star }+\mathrm {L} _{2}^{\star })(\varphi ))({\mathsf {m}})} = ( L 1 ⋆ ( φ ) + L 2 ⋆ ( φ ) ) ( m ) {\displaystyle =(\mathrm {L} _{1}^{\star }(\varphi )+\mathrm {L} _{2}^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})} = ( φ ∘ L 1 + φ ∘ L 2 ) ( m ) {\displaystyle =(\varphi \circ \mathrm {L} _{1}+\varphi \circ \mathrm {L} _{2})({\mathsf {m}})} = φ ( L 1 ( m ) ) + φ L 2 ( m ) , {\displaystyle =\varphi (\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}}))+\varphi \mathrm {L} _{2}({\mathsf {m}}),}
    przy czym równości spełnione są dla dowolnego m ∈ M , {\displaystyle {\mathsf {m}}\in M,} czyli ( L 1 + L 2 ) ⋆ ( φ ) = ( L 1 ⋆ + L 2 ⋆ ) ( φ ) {\displaystyle (\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }(\varphi )=\left(\mathrm {L} _{1}^{\star }+\mathrm {L} _{2}^{\star }\right)(\varphi )} należą do M ⋆ , {\displaystyle M^{\star },} a stąd obie strony równości ( L 1 + L 2 ) ⋆ {\displaystyle (\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }} oraz L 1 ⋆ + L 2 ⋆ {\displaystyle \mathrm {L} _{1}^{\star }+\mathrm {L} _{2}^{\star }} mają tę samą wartość dla każdego φ ∈ N ⋆ , {\displaystyle {\mathsf {\varphi }}\in N^{\star },} skąd ( L 1 + L 2 ) ⋆ = L 1 ⋆ + L 2 ⋆ {\displaystyle (\mathrm {L} _{1}+\mathrm {L} _{2})^{\star }=\mathrm {L} _{1}^{\star }+\mathrm {L} _{2}^{\star }} należy do H o m ( N ⋆ , M ⋆ ) . {\displaystyle \mathrm {Hom} (N^{\star },M^{\star }).} Analogicznie dowodzi się ( c L ) ⋆ = c L ⋆ {\displaystyle (c\mathrm {L} )^{\star }=c\mathrm {L} ^{\star }} dla c ∈ R {\displaystyle c\in R} oraz L ∈ H o m ( M , N ) . {\displaystyle \mathrm {L} \in \mathrm {Hom} (M,N).}
  15. ↑ Ponieważ i d M ⋆ ( φ ) = φ ∘ i d M = φ , {\displaystyle \mathrm {id} _{M}^{\star }(\varphi )=\varphi \circ \mathrm {id} _{M}=\varphi ,} a więc i d M ⋆ = i d M ⋆ . {\displaystyle \mathrm {id} _{M}^{\star }=\mathrm {id} _{M^{\star }}.} Stąd też ( c i d M ) ⋆ = c i d M ⋆ {\displaystyle (c\,\mathrm {id} _{M})^{\star }=c\,\mathrm {id} _{M^{\star }}} dla dowolnego c ∈ R . {\displaystyle c\in R.}
  16. ↑ Dla φ ∈ P ⋆ {\displaystyle \varphi \in P^{\star }} oraz m ∈ M {\displaystyle {\mathsf {m}}\in M} zachodzi
    ( ( L 2 ∘ L 1 ) ⋆ ( φ ) ( m ) {\displaystyle ((\mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1})^{\star }(\varphi )({\mathsf {m}})} = φ ( L 2 ∘ L 1 ) ( m ) {\displaystyle =\varphi (\mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1})({\mathsf {m}})} = φ L 2 ( L 1 ( m ) ) {\displaystyle =\varphi \mathrm {L} _{2}(\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}}))} = L 2 ⋆ ( φ ) ( L 1 ( m ) {\displaystyle =\mathrm {L} _{2}^{\star }(\varphi )(\mathrm {L} _{1}({\mathsf {m}})} = L 1 ⋆ ( L 2 ⋆ ( φ ) ) ( m ) {\displaystyle =\mathrm {L} _{1}^{\star }(\mathrm {L} _{2}^{\star }(\varphi ))({\mathsf {m}})} = ( L 1 ⋆ ∘ L 2 ⋆ ) ( φ ) ( m ) . {\displaystyle =(\mathrm {L} _{1}^{\star }\circ \mathrm {L} _{2}^{\star })(\varphi )({\mathsf {m}}).}
    Z równości dla wszystkich m ∈ M {\displaystyle {\mathsf {m}}\in M} wynika, ( L 2 ∘ L 1 ) ⋆ ( φ ) = ( L 1 ⋆ ∘ L 2 ⋆ ) ( φ ) {\displaystyle (\mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1})^{\star }(\varphi )=(\mathrm {L} _{1}^{\star }\circ \mathrm {L} _{2}^{\star })(\varphi )} dla wszystkich φ ∈ P ⋆ , {\displaystyle \varphi \in P^{\star },} skąd ( L 2 ∘ L 1 ) ⋆ = L 1 ⋆ ∘ L 2 ⋆ {\displaystyle (\mathrm {L} _{2}\circ \mathrm {L} _{1})^{\star }=\mathrm {L} _{1}^{\star }\circ \mathrm {L} _{2}^{\star }} należy do H o m ( P ⋆ , M ⋆ ) . {\displaystyle \mathrm {Hom} (P^{\star },M^{\star }).}
  17. ↑ Z definicji izomorfizmu zachodzą tożsamości L − 1 ∘ L = i d M {\displaystyle \mathrm {L} ^{-1}\circ \mathrm {L} =\mathrm {id} _{M}} oraz L ∘ L − 1 = i d N , {\displaystyle \mathrm {L} \circ \mathrm {L} ^{-1}=\mathrm {id} _{N},} przykładając odwzorowanie dualne do obu stron i korzystając z jego funktorialności otrzymuje się ze złożeń L ⋆ {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }} i ( L − 1 ) ⋆ {\displaystyle \left(\mathrm {L} ^{-1}\right)^{\star }} w obu kierunkach tożsamości na odpowiednich modułach dualnych.
  18. ↑ Skoro M , N {\displaystyle M,N} są skończenie generowane i wolne, to są takie również moduły do nich dualne, a stąd również i H o m ( M , N ) , H o m ( N ⋆ , M ⋆ ) . {\displaystyle \mathrm {Hom} (M,N),\mathrm {Hom} (N^{\star },M^{\star }).} Dowód polega na wykazaniu, iż dualizacja przeprowadza bazę H o m ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (M,N)} w bazę H o m ( N ⋆ , M ⋆ ) , {\displaystyle \mathrm {Hom} (N^{\star },M^{\star }),} co oznacza już jej izomorficzność. Niech dane będą bazy ( e i ) , ( f j ) {\displaystyle ({\mathsf {e}}_{i}),({\mathsf {f}}_{j})} odpowiednio modułów M , N . {\displaystyle M,N.} Bazę H o m ( M , N ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (M,N)} tworzą funkcje L i j : M → N , {\displaystyle \mathrm {L} _{ij}\colon M\to N,} gdzie L i j ( e i ) = f j {\displaystyle \mathrm {L} _{ij}({\mathsf {e}}_{i})={\mathsf {f}}_{j}} oraz L i j ( e k ) = 0 {\displaystyle \mathrm {L} _{ij}({\mathsf {e}}_{k})={\mathsf {0}}} dla k ≠ i , {\displaystyle k\neq i,} tj. L i j ( a 1 e 1 + … + a r e r ) = a i f j . {\displaystyle \mathrm {L} _{ij}(a_{1}{\mathsf {e}}_{1}+\ldots +a_{r}{\mathsf {e}}_{r})=a_{i}{\mathsf {f}}_{j}.} Przekształcenia dualne L i j ⋆ : N ⋆ → M ⋆ {\displaystyle \mathrm {L} _{ij}^{\star }\colon N^{\star }\to M^{\star }} tworzą podobną bazę: L i j ⋆ {\displaystyle \mathrm {L} _{ij}^{\star }} w działaniu na bazę dualną ( f j ⋆ ) {\displaystyle \left({\mathsf {f}}_{j}^{\star }\right)} dla dowolnego wektora bazowego e k {\displaystyle {\mathsf {e}}_{k}} przyjmuje postać
    ( L i j ⋆ ( f l ⋆ ) ( e k ) = ( f l ⋆ ∘ L i j ⋆ ) ( e k ) = f l ⋆ ( L i j ( e k ) ) ; {\displaystyle (\mathrm {L} _{ij}^{\star }({\mathsf {f}}_{l}^{\star })({\mathsf {e}}_{k})=\left({\mathsf {f}}_{l}^{\star }\circ \mathrm {L} _{ij}^{\star }\right)({\mathsf {e}}_{k})={\mathsf {f}}_{l}^{\star }(\mathrm {L} _{ij}({\mathsf {e}}_{k}));}
    gdy k = i , {\displaystyle k=i,} to zachodzi dalsza równość f l ⋆ ( f j ) {\displaystyle {\mathsf {f}}_{l}^{\star }({\mathsf {f}}_{j})} (w przeciwnym przypadku: element zerowy), a gdy ponadto l = j , {\displaystyle l=j,} to kontynuacją tej tożsamości jest jedynka (w przeciwnym przypadku: zero). Stąd też L i j ⋆ ( f j ) = e i ⋆ {\displaystyle \mathrm {L} _{ij}^{\star }({\mathsf {f}}_{j})={\mathsf {e}}_{i}^{\star }} oraz L i j ( e k ) = 0 {\displaystyle \mathrm {L} _{ij}({\mathsf {e}}_{k})={\mathsf {0}}} dla l ≠ j , {\displaystyle l\neq j,} a więc funkcje ( L i j ⋆ ) {\displaystyle \left(\mathrm {L} _{ij}^{\star }\right)} tworzą bazę.
  19. ↑ Jeśli M = N , {\displaystyle M=N,} to H o m ( M , M ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (M,M)} i H o m ( M ⋆ , M ⋆ ) {\displaystyle \mathrm {Hom} (M^{\star },M^{\star })} są pierścieniami, a dualizacja jest wtedy ich antyhomomorfizmem, który staje się antyizomorfizmem, gdy M {\displaystyle M} jest skończenie generowany i wolny.
  20. ↑ Zastosowanie kolejno izomorfizmu M → M ⋆ ⋆ {\displaystyle M\to M^{\star \star }} oraz L ⋆ ⋆ {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star \star }} do dowolnie wybranego elementu m ∈ M {\displaystyle {\mathsf {m}}\in M} daje element L ⋆ ⋆ ( e v m ) = ( L ⋆ ) ⋆ ( e v m ) = e v m ∘ L ⋆ {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star \star }(\mathrm {ev} _{\mathsf {m}})=\left(\mathrm {L} ^{\star }\right)^{\star }(\mathrm {ev} _{\mathsf {m}})=\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}\circ \mathrm {L} ^{\star }} należący do N ⋆ ⋆ . {\displaystyle N^{\star \star }.} Z drugiej strony przyłożenie do m ∈ M {\displaystyle {\mathsf {m}}\in M} przekształcenia L , {\displaystyle \mathrm {L} ,} a następnie izomorfizmu N → N ⋆ ⋆ {\displaystyle N\to N^{\star \star }} daje e v L ( m ) . {\displaystyle \mathrm {ev} _{\mathrm {L} ({\mathsf {m}})}.} Ponieważ dla dowolnego φ ∈ N ⋆ {\displaystyle \varphi \in N^{\star }} zachodzi
    ( e v m ∘ L ) ( φ ) = e v m L ⋆ ( φ ) = ( φ ∘ L ) ( m ) = φ L ( φ ) = e v L ( m ) ( φ ) , {\displaystyle (\mathrm {ev} _{\mathsf {m}}\circ \mathrm {L} )(\varphi )=\mathrm {ev} _{m}\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )=(\varphi \circ \mathrm {L} )({\mathsf {m}})=\varphi \mathrm {L} (\varphi )=\mathrm {ev} _{\mathrm {L} ({\mathsf {m}})}(\varphi ),}
    to z faktu, iż równość ta zachodzi dla dowolnego m , {\displaystyle {\mathsf {m}},} to L {\displaystyle \mathrm {L} } można utożsamiać z L ⋆ ⋆ . {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star \star }.}
  21. ↑ Założenia o skończonym generowaniu i wolności modułów M , N {\displaystyle M,N} potrzebne są jedynie do zapewnienia, iż odwzorowania naturalne M → M ⋆ ⋆ {\displaystyle M\to M^{\star \star }} i N → N ⋆ ⋆ {\displaystyle \mathrm {N} \to N^{\star \star }} są izomorfizmami – w istocie wystarczy więc założenie refleksywności wspomnianych modułów.
  22. ↑ Należy wykazać, że L ⋆ = L T ; {\displaystyle \mathbf {L} ^{\star }=\mathbf {L} ^{\mathrm {T} };} niech [ ⋅ ] E : M → R m {\displaystyle [\cdot ]_{E}\colon M\to R^{m}} i [ ⋅ ] F : N → R n {\displaystyle [\cdot ]_{F}\colon N\to R^{n}} będą izomorfizmami wyrażającymi elementy modułów w odpowiednich bazach, podobnie niech dane będą [ ⋅ ] E ⋆ : M ⋆ → R m {\displaystyle [\cdot ]_{E^{\star }}\colon M^{\star }\to R^{m}} oraz [ ⋅ ] F ⋆ : N ⋆ → R n . {\displaystyle [\cdot ]_{F^{\star }}\colon N^{\star }\to R^{n}.} Macierze L {\displaystyle \mathbf {L} } i L ⋆ {\displaystyle \mathbf {L} ^{\star }} są realizacjami przekształceń L {\displaystyle \mathrm {L} } i L ⋆ {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }} w wybranych bazach, tj. [ L ( m ) ] F = L [ m ] E {\displaystyle [\mathrm {L} ({\mathsf {m}})]_{F}=\mathbf {L} [{\mathsf {m}}]_{E}} oraz [ L ⋆ ( φ ) ] E ⋆ = L [ φ ] F ⋆ {\displaystyle [\mathrm {L} ^{\star }(\varphi )]_{E^{\star }}=\mathbf {L} [\varphi ]_{F^{\star }}} dla m ∈ M {\displaystyle {\mathsf {m}}\in M} i φ ∈ N ⋆ . {\displaystyle \varphi \in N^{\star }.} Ponieważ [ e j ] E {\displaystyle [{\mathsf {e}}_{j}]_{E}} jest j {\displaystyle j} -tym wektorem bazy standardowej R m , {\displaystyle R^{m},} to j {\displaystyle j} -tą kolumną L {\displaystyle \mathbf {L} } jest L [ e j ] E = [ L ( e j ) ] F ; {\displaystyle \mathbf {L} [{\mathsf {e}}_{j}]_{E}=[\mathrm {L} ({\mathsf {e}}_{j})]_{F};} ponieważ i {\displaystyle i} -tą składową tego wektora współrzędnych w R m {\displaystyle R^{m}} jest f i ⋆ L ( e j ) , {\displaystyle f_{i}^{\star }\mathrm {L} ({\mathsf {e}}_{j}),} gdyż [ f i ⋆ ] F ⋆ {\displaystyle \left[{\mathsf {f}}_{i}^{\star }\right]_{F^{\star }}} jest i {\displaystyle i} -tym wektorem bazy F . {\displaystyle F.} Wynika stąd, że ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} -tym elementem macierzy L {\displaystyle \mathbf {L} } jest f i ⋆ L ( e j ) . {\displaystyle f_{i}^{\star }\mathrm {L} ({\mathsf {e}}_{j}).} Z drugiej strony i {\displaystyle i} -tą kolumną L ⋆ {\displaystyle \mathbf {L} ^{\star }} jest L ⋆ [ f i ⋆ ] F ⋆ , {\displaystyle \mathbf {L} ^{\star }\left[{\mathsf {f}}_{i}^{\star }\right]_{F^{\star }},} gdyż [ f i ⋆ ] F ⋆ {\displaystyle \left[{\mathsf {f}}_{i}^{\star }\right]_{F^{\star }}} jest i {\displaystyle i} -tym wektorem bazy standardowej R n , {\displaystyle R^{n},} a z powyższej obserwacji wynika, że L ⋆ [ f i ⋆ ] F ⋆ = [ L ⋆ ( f i ⋆ ) ] E ⋆ . {\displaystyle \mathbf {L} ^{\star }\left[{\mathsf {f}}_{i}^{\star }\right]_{F^{\star }}=[\mathrm {L} ^{\star }({\mathsf {f}}_{i}^{\star })]_{E^{\star }}.} Funkcje współrzędnych na M ⋆ {\displaystyle M^{\star }} względem E ⋆ {\displaystyle E^{\star }} są bazą dualną do tej bazy dualnej, co oznacza, że należą one do pierwotnej bazy E {\displaystyle E} przy utożsamieniu M ≃ M ⋆ ⋆ {\displaystyle M\simeq M^{\star \star }} poprzez przekształcenie naturalne. W ten sposób j {\displaystyle j} -tą współrzędną wektora [ L ⋆ ( f i ⋆ ) ] E ⋆ {\displaystyle [\mathrm {L} ^{\star }({\mathsf {f}}_{i}^{\star })]_{E^{\star }}} jest e v e j L ⋆ ( f i ⋆ ) = L ⋆ ( f i ⋆ ) ( e j ) , {\displaystyle \mathrm {ev} _{{\mathsf {e}}_{j}}\mathrm {L} ^{\star }({\mathsf {f}}_{i}^{\star })=\mathrm {L} ^{\star }({\mathsf {f}}_{i}^{\star })({\mathsf {e}}_{j}),} z definicji L ⋆ {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }} jest zaś L ⋆ ( f i ⋆ ) = f i ⋆ ∘ L , {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }\left({\mathsf {f}}_{i}^{\star }\right)={\mathsf {f}}_{i}^{\star }\circ \mathrm {L} ,} a więc ( j , i ) {\displaystyle (j,i)} -ty element L ⋆ {\displaystyle \mathbf {L} ^{\star }} jest równy ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} -temu elementowi L , {\displaystyle \mathbf {L} ,} co oznacza, że L ⋆ = L T . {\displaystyle \mathbf {L} ^{\star }=\mathbf {L} ^{\mathrm {T} }.}
  23. ↑ Należy pokazać, że dla φ ∈ N ⋆ {\displaystyle \varphi \in N^{\star }} oraz L ⋆ ( φ ) = 0 {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }(\varphi )=0} zachodzi φ = 0. {\displaystyle \varphi =0.} Z definicji jest φ ∘ L = 0 {\displaystyle \varphi \circ \mathrm {L} =0} jako funkcja M → R , {\displaystyle M\to R,} a więc φ L ( m ) = 0 {\displaystyle \varphi \mathrm {L} ({\mathsf {m}})=0} dla wszystkich m ∈ M . {\displaystyle {\mathsf {m}}\in M.} Ponieważ L {\displaystyle \mathrm {L} } jest „na”, to { L ( m ) : m ∈ M } = N , {\displaystyle \{\mathrm {L} ({\mathsf {m}})\colon {\mathsf {m}}\in M\}=N,} skąd φ = 0 {\displaystyle \varphi =0} jako forma na N . {\displaystyle N.}
  24. ↑ Niech R = N = Z {\displaystyle R=N=\mathbb {Z} } oraz M = 2 Z , {\displaystyle M=2\mathbb {Z} ,} zaś L : M → N {\displaystyle \mathrm {L} \colon M\to N} będzie zanurzeniem naturalnym. Forma φ : M → R {\displaystyle \varphi \colon M\to R} dana wzorem φ ( 2 a ) = a {\displaystyle \varphi (2a)=a} jest liniowa, tj. φ ∈ M ⋆ . {\displaystyle \varphi \in M^{\star }.} Fakt, iż φ {\displaystyle \varphi } należy do obrazu L ⋆ {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }} oznacza, że φ {\displaystyle \varphi } przedłuża się (za pomocą L {\displaystyle \mathrm {L} } ) do pewnej funkcji na N ⋆ {\displaystyle N^{\star }} oznaczanej dalej Φ . {\displaystyle \Phi .} Zachodzi 2 Φ ( 1 ) = Φ ( 2 ) = φ ( 2 ) = 1 , {\displaystyle 2\Phi (1)=\Phi (2)=\varphi (2)=1,} co oznacza, że Φ ( 1 ) {\displaystyle \Phi (1)} nie ma rozwiązania w R = Z , {\displaystyle R=\mathbb {Z} ,} a więc Φ {\displaystyle \Phi } nie istnieje. Istotnie, do obrazu L ⋆ {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }} należą te elementy M ⋆ , {\displaystyle M^{\star },} których obrazem w R {\displaystyle R} jest 2 Z ; {\displaystyle 2\mathbb {Z} ;} moduł M = 2 Z {\displaystyle M=2\mathbb {Z} } można zastąpić tu k Z {\displaystyle k\mathbb {Z} } dla dowolnego k > 1. {\displaystyle k>1.}
  25. ↑ Przypadki M , N = { 0 } {\displaystyle M,N=\{{\mathsf {0}}\}} są trywialne. Ponieważ przestrzenie liniowe określone są nad ciałami, to podprzestrzeń L ( M ) {\displaystyle \mathrm {L} (M)} ma dopełnienie proste w N : {\displaystyle N{:}} wybierając bazę w L ( M ) {\displaystyle \mathrm {L} (M)} i rozszerzając ją do bazy N {\displaystyle N} można zapisać N = L ( M ) ⊕ P , {\displaystyle N=\mathrm {L} (M)\oplus P,} gdzie P {\displaystyle P} jest pewną podprzestrzenią (rozpinaną przez rozszerzenie bazy). Dowolna forma liniowa L ( M ) → K {\displaystyle \mathrm {L} (M)\to K} może być rozszerzona do formy N → K {\displaystyle N\to K} poprzez rzutowanie z N {\displaystyle N} na L ( M ) {\displaystyle \mathrm {L} (M)} zgodnie z powyższym rozkładem na sumę prostą, a następnie przyłożenie wybranej formy na L ( M ) . {\displaystyle \mathrm {L} (M).} Rozumowanie przedstawione we wprowadzeniu do twierdzenia pokazuje, iż L ⋆ {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }} jest „na”. Dowód można zakończyć także w następujący sposób: niech π : N → M {\displaystyle \pi \colon N\to M} będzie rzutem N → L ( M ) {\displaystyle N\to \mathrm {L} (M)} złożonym z funkcją odwrotną do L {\displaystyle \mathrm {L} } (istnieje, gdyż L {\displaystyle \mathrm {L} } z M {\displaystyle M} na L ( M ) {\displaystyle \mathrm {L} (M)} jest „1-1”, a więc wzajemnie jednoznaczna), tj. π L ( m ) + p = m ; {\displaystyle \pi \mathrm {L} (\mathbf {m} )+\mathbf {p} =\mathbf {m} ;} jest ono liniowe oraz π ∘ L = i d M . {\displaystyle \pi \circ \mathrm {L} =\mathrm {id} _{M}.} Dualizacja daje L ⋆ ∘ π ⋆ = i d M ⋆ , {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }\circ \pi ^{\star }=\mathrm {id} _{M^{\star }},} co oznacza, że L ⋆ {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }} jest „na”, gdyż dla każdego φ ∈ M ⋆ {\displaystyle \varphi \in M^{\star }} zachodzi L ⋆ π ⋆ ( φ ) = φ . {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }\pi ^{\star }(\varphi )=\varphi .}
  26. ↑ Własność N = L ( M ) ⊕ P {\displaystyle N=\mathrm {L} (M)\oplus P} dla pewnego podmodułu P , {\displaystyle P,} uzyskana w powyższym dowodzie dla przestrzeni liniowych za pomocą baz, przyjęta jako założenie umożliwia powtórzenie powyższego dowodu w przypadku modułów.
  27. ↑ Podany wyżej kontrprzykład korzysta z faktu, iż 2 Z {\displaystyle 2\mathbb {Z} } nie jest składnikiem prostym Z . {\displaystyle \mathbb {Z} .}
  28. ↑ Funkcje φ v {\displaystyle \varphi _{\mathbf {v} }} są liniowe, zatem należą do ( R n ) ⋆ ; {\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n}\right)^{\star };} co więcej, ponieważ φ v + v ′ = φ v + φ v ′ {\displaystyle \varphi _{\mathbf {v} +\mathbf {v} '}=\varphi _{\mathbf {v} }+\varphi _{\mathbf {v} '}} oraz φ c v = c φ v {\displaystyle \varphi _{c\mathbf {v} }=c\varphi _{\mathbf {v} }} dla każdego c ∈ R , {\displaystyle c\in \mathbb {R} ,} to odwzorowanie v {\displaystyle \mathbf {v} } w φ v {\displaystyle \varphi _{\mathbf {v} }} jest przekształceniem liniowym R n → ( R n ) ⋆ . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \left(\mathbb {R} ^{n}\right)^{\star }.} Jest ono iniektywne, gdyż jeśli φ v = 0 {\displaystyle \varphi _{\mathbf {v} }=0} należy do ( R n ) ⋆ , {\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n}\right)^{\star },} to wtedy v ⋅ w = 0 {\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {w} =0} dla każdego w ∈ R n , {\displaystyle \mathbf {w} \in \mathbb {R} ^{n},} z kolei wzięcie w = e 1 , … , e n {\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n}} daje v = 0. {\displaystyle \mathbf {v} =0.} Aby pokazać suriektywność należy wybrać f ∈ ( R n ) ⋆ ; {\displaystyle f\in \left(\mathbb {R} ^{n}\right)^{\star };} wówczas dla każdego w = ( w 1 , … , w n ) = ∑ w i e i {\displaystyle \mathbf {w} =(w_{1},\dots ,w_{n})=\sum w_{i}\mathbf {e} _{i}} należącego do R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} jest f ( w ) = f ∑ w i e i = ∑ w i f ( e i ) = φ v ( w ) , {\displaystyle f(\mathbf {w} )=f\sum w_{i}\mathbf {e} _{i}=\sum w_{i}f(\mathbf {e} _{i})=\varphi _{\mathbf {v} }(\mathbf {w} ),} gdzie v = f ( e 1 ) , … , f ( e n ) , {\displaystyle \mathbf {v} =f(\mathbf {e} _{1}),\dots ,f(\mathbf {e} _{n}),} czyli f = φ v {\displaystyle f=\varphi _{\mathbf {v} }} dla tego wyboru v . {\displaystyle \mathbf {v} .}
  29. ↑ Izomorfizm R ⋆ ≃ R {\displaystyle R^{\star }\simeq R} opisuje wzór φ ↦ φ ( 1 ) , {\displaystyle \varphi \mapsto \varphi (1),} a w drugą stronę – a ↦ φ a . {\displaystyle a\mapsto \varphi _{a}.}
  30. ↑ Jeśli f ∈ Q ⋆ , {\displaystyle f\in \mathbb {Q} ^{\star },} to dla dowolnego r ∈ Q {\displaystyle r\in \mathbb {Q} } liczba całkowita f ( r ) {\displaystyle f(r)} spełnia f ( r ) = 2 n f ( r / 2 n ) , {\displaystyle f(r)=2^{n}f\left(r/2^{n}\right),} gdzie f ( r / 2 n ) ∈ Z , {\displaystyle f\left(r/2^{n}\right)\in \mathbb {Z} ,} co oznacza, że f ( r ) {\displaystyle f(r)} jest podzielne przez dowolnie wysokie potęgi 2. {\displaystyle 2.} Zatem f ( r ) = 0 {\displaystyle f(r)=0} dla wszystkich r , {\displaystyle r,} a więc f = 0. {\displaystyle f=0.}
  31. ↑ Która jest w istocie izomorficzna z Q . {\displaystyle \mathbb {Q} .}
  32. ↑ Gdyż homomorfizm grup przeprowadza elementy skończonego rzędu A {\displaystyle A} na elementy skończonego rzędu Z , {\displaystyle \mathbb {Z} ,} a jedynym takim elementem tej grupy jest 0. {\displaystyle 0.}
  33. ↑ Tego rodzaju dualność nie zdradza nic na temat struktury skończonej grupy abelowej – z tego powodu wprowadza się osobne pojęcie grupy dualnej (w sensie Pontriagina): A ^ = H o m ( A , S 1 ) , {\displaystyle {\hat {A}}=\mathrm {Hom} (A,S^{1}),} czyli zbiór homomorfizmów z A {\displaystyle A} w grupę okręgu S 1 ⊂ C × {\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {C} ^{\times }} z mnożeniem jako działaniem grupowym; znajduje ono zastosowanie podczas badania charakterów na skończonych grupach abelowych. Dualność Pontriagina stanowi kluczowy element analizy fourierowskiej na lokalnie zwartych grupach abelowych będących uogólnieniem skończonych grup abelowych.
  34. ↑ Dla każdego c I ⊆ R {\displaystyle cI\subseteq R} funkcja x ↦ c x {\displaystyle x\mapsto cx} jest przekształceniem liniowym I → R . {\displaystyle I\to R.} W drugą stronę, niech φ : I → R {\displaystyle \varphi \colon I\to R} będzie formą liniową. Dla ustalonego a ∈ I {\displaystyle a\in I} zachodzi φ ( a x ) = a φ ( x ) = x φ ( a ) = φ ( a ) x , {\displaystyle \varphi (ax)=a\varphi (x)=x\varphi (a)=\varphi (a)x,} czyli φ ( x ) = c x {\displaystyle \varphi (x)=cx} dla c = φ ( a ) / a ∈ K {\displaystyle c=\varphi (a)/a\in K} dla każdego x ∈ I . {\displaystyle x\in I.} Stąd c I = φ ( I ) ⊆ R , {\displaystyle cI=\varphi (I)\subseteq R,} czyli każdy element I ⋆ {\displaystyle I^{\star }} powstaje w ten sposób.
  35. ↑ Gdyż są to funkcje współrzędnych dla bazy standardowej, tj. f 1 ( a + b i ) = a {\displaystyle f_{1}(a+bi)=a} i f 2 ( a + b i ) = b {\displaystyle f_{2}(a+bi)=b} dla rzeczywistych a , b , {\displaystyle a,b,} a więc f 1 = R e {\displaystyle f_{1}=\mathrm {Re} } jest funkcją części rzeczywistej, a f 2 = I m {\displaystyle f_{2}=\mathrm {Im} } jest funkcją części urojonej.
  36. ↑ Należy wyrazić L ⋆ ( R e ) {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }(\mathrm {Re} )} i L ⋆ ( I m ) {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }(\mathrm {Im} )} w bazie dualnej: skoro wyrazy te odpowiednio są równe R e ∘ L {\displaystyle \mathrm {Re} \circ \mathrm {L} } oraz I m ∘ L , {\displaystyle \mathrm {Im} \circ \mathrm {L} ,} to należy wyznaczyć części rzeczywistą i urojoną wartości odwzorowania L . {\displaystyle \mathrm {L} .} Ponieważ dla każdego z = a + b i ∈ C {\displaystyle z=a+bi\in \mathbb {C} } jest
    L ( z ) = ( 2 + i ) z + z ¯ = ( 2 + i ) ( a + b i ) + a − b i = ( 3 a − b ) + ( a + b ) i , {\displaystyle \mathrm {L} (z)=(2+i)z+{\overline {z}}=(2+i)(a+bi)+a-bi=(3a-b)+(a+b)i,}
    to część rzeczywista L ( z ) {\displaystyle \mathrm {L} (z)} wynosi 3 a − b = 3 R e ( z ) − I m ( z ) , {\displaystyle 3a-b=3\mathrm {Re} (z)-\mathrm {Im} (z),} podczas gdy jej część urojona to a + b = R e ( z ) + I m ( z ) , {\displaystyle a+b=\mathrm {Re} (z)+\mathrm {Im} (z),} co oznacza, iż L ⋆ ( R e ) = 3 R e − I m {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }(\mathrm {Re} )=3\mathrm {Re} -\mathrm {Im} } oraz L ⋆ ( I m ) = R e + I m . {\displaystyle \mathrm {L} ^{\star }(\mathrm {Im} )=\mathrm {Re} +\mathrm {Im} .}

Bibliografia

  • A.I. Kostrikin: Wstęp do algebry, cz. 2. Algebra liniowa. Warszawa: PWN, 2004. ISBN 83-01-14267-7.
  • H.G. Dales: Banach algebras and automatic continuity. T. 24. Oxford: New Series (The Clarendon Press Oxford University Press), 2000, s. 25, seria: London Mathematical Society Monographs. ISBN 0-19-850013-0.