Rotacja lub wirowość – operator różniczkowy działający na pole wektorowe tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego[1]. Oznaczana jest przez lub (z ang. rotacja), czasami również zapisywana jako
Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe ma potencjał (i odwrotnie: pole dla którego nie można określić potencjału jest polem wirowym).
Definicja formalna
Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla i wektora
W sensie geometrii różniczkowej rotację pola wektorowego na trójwymiarowej rozmaitości zorientowanej z metryką definiuje się w sposób:
gdzie:
- – tensor metryczny,
- – zwężenie formy objętości z rot(F).
Rotacja w układzie współrzędnych kartezjańskich
W kartezjańskim układzie współrzędnych mamy więc
- Notacja macierzowa
W notacji macierzowej rotację otrzymujemy jako wyznacznik macierzy:
gdzie są wersorami osi układu współrzędnych.
Całość rozpisujemy w następujący sposób:
Rotacja w innych układach współrzędnych
W układzie współrzędnych walcowych[2]:
W układzie współrzędnych sferycznych[2]:
Notacja Einsteina
W notacji Einsteina, z użyciem symbolu Leviego-Civity, jest zapisywana jako:
Własności rotacji
Oznaczając przez pola wektorowe, przez pole skalarne dla zachodzą następujące własności:
- rotacja gradientu jest zerowa
- rotacja z pola wektorowego, które jest iloczynem pola skalarnego i wektorowego:
- rotacja z iloczynu wektorowego dwóch pól wektorowych:
- rotacja z rotacji pola wektorowego
- każde pole o zerowej rotacji można przedstawić jako gradient pola skalarnego (istnieje takie pole skalarne V, że ); zob. twierdzenie Helmholtza.
Przypisy
- ↑ rotacja, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2021-10-02] .
- ↑ a b I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIX. Warszawa: PWN, 2002, s. 676–677. ISBN 83-01-11658-7.
Linki zewnętrzne
- Curl (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].