Współkońcowość

W matematyce, zwłaszcza w teorii mnogości, współkońcowość ${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa ).}$ zbioru częściowo uporządkowanego ${\displaystyle \kappa }$ to najmniejsza moc zbioru współkońcowego w ${\displaystyle \kappa .}$

Notacja

Dla liczby porządkowej ${\displaystyle \alpha }$ przez ${\displaystyle O(\alpha )}$ oznaczać będziemy wyznaczony przez nią odcinek początkowy, czyli zbiór mniejszych od ${\displaystyle \alpha }$ liczb porządkowych

${\displaystyle O(\alpha )=\{\lambda \in {\text{Ord}}:\lambda <\alpha \}.}$

Definicja

Załóżmy, że ${\displaystyle \kappa }$ jest nieskończoną liczbą kardynalną. Najmniejszą liczbę kardynalną ${\displaystyle \lambda }$ taką, że ${\displaystyle \kappa }$ jest sumą ${\displaystyle \lambda }$ swoich podzbiorów, z których każdy jest mocy mniejszej niż ${\displaystyle \kappa ,}$ nazwiemy współczynnikiem współkońcowości liczby ${\displaystyle \kappa }$ lub jej współkońcowością^[1]. Współczynnik współkońcowości oznacza się ${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa ).}$ Wyrażoną w ten sposób zależność można opisać również następująco:

${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )=\min \left(|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subset {\mathcal {P}}(\kappa )~\wedge \forall _{A\in {\mathcal {A}}}|A|<\kappa ~\wedge ~\bigcup {\mathcal {A}}=\kappa \right).}$

Liczby kardynalne ${\displaystyle \kappa ,}$ dla których ${\displaystyle \operatorname {cf} (\kappa )=\kappa }$ nazywamy regularnymi. Pozostałe liczby kardynalne są singularne.

Charakteryzacja

Załóżmy, że ${\displaystyle \kappa }$ jest nieskończoną liczbą kardynalną. Powiemy, że zbiór ${\displaystyle X\subset O(\kappa )}$ jest ograniczony w ${\displaystyle \kappa ,}$ jeśli istnieje liczba porządkowa ${\displaystyle \alpha <\kappa }$ taka, że ${\displaystyle X\subset O(\alpha ).}$ W przeciwnym razie powiemy, że zbiór ${\displaystyle X}$ jest współkońcowy w ${\displaystyle \kappa .}$ Współkońcowość liczby kardynalnej równa jest mocy najmniejszego zbioru współkońcowego w ${\displaystyle \kappa .}$

Przykłady

Oczywistym przykładem regularnej liczby kardynalnej jest ${\displaystyle \aleph _{0}.}$

Każdy następnik kardynalny jest liczbą regularną.

Dla każdej liczby porządkowej ${\displaystyle \alpha }$ zachodzi następująca zależność:

${\displaystyle \operatorname {cf} (\aleph _{\alpha })={\begin{cases}\aleph _{\alpha }&{\text{dla }}\alpha =\beta +1\\\operatorname {cf} (\alpha )&{\text{dla }}\alpha {\text{ granicznych}}\end{cases}}}$

Przypisy