Cardinais regulares e singulares

Em matemática, especialmente em teoria de conjuntos, um cardinal é denominado regular se ele é igual a sua própria cofinalidade. Caso contrário, é dito singular.[1]

Definições e exemplos

Se abreviarmos cofinalidade de x {\displaystyle x} como cf ( x ) {\displaystyle {\mbox{cf}}(x)} , podemos generalizar a definição acima para ordinais dizendo que α {\displaystyle \alpha } é regular se cf ( α ) = α {\displaystyle {\mbox{cf}}(\alpha )=\alpha } e singular se cf ( α ) < α {\displaystyle {\mbox{cf}}(\alpha )<\alpha } , pois cf ( α ) {\displaystyle {\mbox{cf}}(\alpha )} ≤ α {\displaystyle \alpha } vale para todo ordinal.[2] De maneira equivalente, podemos definir que um cardinal κ {\displaystyle \kappa } é singular se resulta da união de uma quantidade menor que κ {\displaystyle \kappa } de conjuntos cada um dos quais tem também cardinalidade menor que κ {\displaystyle \kappa } :

κ = ⋃ α < β ( A α )  tais que  β < κ  e  | A α | < κ  para cada  α < β {\displaystyle \kappa =\bigcup _{\alpha <\beta }(A_{\alpha }){\mbox{ tais que }}\beta <\kappa {\mbox{ e }}\left|A_{\alpha }\right|<\kappa {\mbox{ para cada }}\alpha <\beta } [3]

Por exemplo, ℵ ω {\displaystyle \aleph _{\omega }} é singular pois:

ℵ ω = ⋃ n < ω ℵ n = ℵ 0 ∪ ℵ 1 ∪ ⋯ ∪ ℵ n ∪ … {\displaystyle \aleph _{\omega }=\bigcup _{n<\omega }\aleph _{n}=\aleph _{0}\cup \aleph _{1}\cup \dots \cup \aleph _{n}\cup \dots \;\;} [4]

ou seja, ℵ ω {\displaystyle \aleph _{\omega }} é a união de ω = ℵ 0 {\displaystyle \omega =\aleph _{0}} conjuntos, cada um dos quais tem cardinalidade menor que ℵ ω {\displaystyle \aleph _{\omega }} .

Por outro lado, ω {\displaystyle \omega } é regular, pois cf ( ω ) = ω {\displaystyle {\mbox{cf}}(\omega )=\omega } .[5] Além disso, a união de uma quantidade finita de conjuntos finitos é um conjunto finito.[6]

Cardinais regulares e o axioma da escolha

Na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel mais o axioma da escolha, denominada ZFC, pode ser demonstrado que a união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável[7] e portanto ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} é regular. Sem o axioma da escolha, cf ( ℵ 1 ) = ω {\displaystyle {\mbox{cf}}(\aleph _{1})=\omega } [5] (que implica que ℵ 1 {\displaystyle \aleph _{1}} é singular) é consistente com ZF, se ZF é consistente.

Em ZFC é demonstrado que todo cardinal da forma ℵ α + 1 {\displaystyle \aleph _{\alpha +1}} (denominado cardinal sucessor) é regular.[8] Um cardinal infinito que não é sucessor é denominado cardinal limite e em ℵ α {\displaystyle \aleph _{\alpha }} temos que α = 0 {\displaystyle \alpha ={\mbox{0}}} ou α {\displaystyle \alpha } é um ordinal limite.[9] Em ZFC não pode ser demonstrada a existência de cardinais limites regulares diferentes de ω {\displaystyle \omega } ,[10] se ZFC é consistente.[11]

Referências

  1. ↑ Levy [2002] , p. 132.
  2. ↑ Ibid.
  3. ↑ Jech [2006] , p. 32.
  4. ↑ Hrbacek Jech [1999] , p. 161.
  5. ↑ a b Kunen [1980] , p. 33.
  6. ↑ Hrbacek Jech [1999] , p. 72.
  7. ↑ Jech [1973] , p. 48−49.
  8. ↑ Levy [2002] , p. 135.
  9. ↑ Levy [2002] , p. 90.
  10. ↑ Denominados fracamente inacessíveis
  11. ↑ Kunen [1980] , p. 34.

Bibliografia

  • Hrbacek, Karen; Jech, Thomas (1999). Introduction to set theory (em inglês) 3a. ed. New York: Marcel Dekker  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautor= (ajuda)
  • Jech, Thomas (1999). «About the Axiom of Choice». In: Barwise, Jon. Handbook of mathematical logic (em inglês). Amsterdam: Elsevier. p. 345−370 
  • Jech, Thomas (2006). Set theory (em inglês) 3a. ed. Berlin: Springer. ISBN 3-540-44085-2 
  • Kunen, Kenneth (1980). Set theory: an introduction to independence proofs (em inglês). Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-86839-9 
  • Levy, Azriel (2002). Basic set theory (em inglês). Mineola, New York: Dover