Conjunto limitado

Em matemática, foram desenvolvidos vários conceitos de conjunto limitado cada um adaptado a seu contexto. A ideia de conjunto limitado está intimamente ligada à ideia de conjunto pré-compacto, ou seja, cujo fecho é compacto. Em espaços métricos completos de dimensão finita, estes conceitos coincidem.

Limitação em ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Um subconjunto dos números reais é limitado se estiver contido num intervalo fechado limitado, ou seja da forma ${\displaystyle [a,b]~~a<b\,}$.

Se um subconjunto de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ está contido num intervalo da forma ${\displaystyle (-\infty ,a]\,}$ diz-se limitado superiormente; se está contido num intervalo da forma ${\displaystyle [a,+\infty )\,}$ diz-se limitado inferiormente.

Definição em um espaço métrico

• Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito.

Definição em um espaço normado

As definições são equivalentes, frente à desigualdade triangular:

• Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito.
• Um conjunto é dito limitado se estiver contido em alguma bola de raio finito centrada na origem.

Definição em um espaço linear topológico

• Um conjunto ${\displaystyle E}$ é dito limitado se para toda vizinhança da origem ${\displaystyle V}$, existe um escalar ${\displaystyle \lambda }$ tal que:

${\displaystyle E\subseteq \lambda V}$

Propriedades

• Se ${\displaystyle A\subseteq B}$ e ${\displaystyle B}$ é limitado, ${\displaystyle A}$ é limitado.
• A união finita de limitados é um conjunto limitado.
• Todo conjunto pré-compacto ${\displaystyle E}$ é limitado

Para provar esta última afirmação em um espaço métrico escreva:

${\displaystyle E\subseteq {\overline {E}}\subseteq \bigcup _{n=1}^{\infty }B(x,n)}$, ${\displaystyle B(n,r)\,}$ é a bola de centro x e raio n.

Da compacidade, pode-se tomar uma sub-cobertura finita:

${\displaystyle E\subseteq {\overline {E}}\subseteq \bigcup _{n=1}^{N}B(x,n)}$, ${\displaystyle B(n,r)\,}$ é a bola de centro x e raio n.

Em espaços lineares topológicos, imite a demonstração substituindo ${\displaystyle B_{x,n}\,}$, pot ${\displaystyle nV\,}$

Conjuntos d-limitados e ${\displaystyle \tau }$-limitados

Todo espaço métrico possui uma topologia induzida pela métrica. Quando este espaço métrico é também um espaço vetorial, pode acontecer de também ser uma espaço linear topológico. Neste caso, o conceito de conjunto limitado na métrica pode diferir do conceito de limitado na topologia. Usa-se a notação d-limitado e tau-limitado.

Cabe observar que um espaço linear topológico Hausdorff nunca é limitado.

Veja também

• Compacidade
• Conjunto totalmente limitado
• Teorema de Heine-Borel, um conjunto é compacto em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ se e somente se é fechado e limitado.

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