Função sucessora

Em matemática, a função sucessora ou operação sucessora é uma Função recursiva primitiva $S$ tal que $S(n)=n+1$ para cada número natural $n$ . Por exemplo, $S(1)=2$ e $S(2)=3$ . Operações sucessoras são também conhecidas como zeração no contexto de zeroth hiperoperação: $H_{0}(a,b)=1+b$ .

Visão geral

A função sucessora é usada nos axiomas de Peano que define os números naturais. Como tal, não é definida pela adição, mas é usada para definir todos os números naturais além do 0, assim como adição. Por exemplo, 1 é definido como sendo $S(0)$ e a adição de números naturais é definido recursivamente por:

{\begin{aligned}m+0&=m\\m+S(n)&=S(m)+n\end{aligned}}

Isto produz, por exemplo, $5+2=5+S(1)=S(5)+1=6+1=6+S(0)=S(6)+0=7+0=7$

Quando os números naturais são uma construídos baseados na teoria dos conjuntos, uma abordagem comum é definir o número 0 como o conjunto vazio {}, e o sucessor $S(x)$ para ser $x\cup \{x\}$ . O axioma do infinito garante a existência de um conjunto $\mathbb {N}$ que contém 0 e é um operador fechado em relação a $S$ , os membros de $\mathbb {N}$ são chamados de números naturais.^[1]

A função sucessora é a fundação nível-0 da hierarquia infinita de hiperoperações (usada para construir adição, multiplicação, exponenciação, tetração etc).

É também uma das funções primitivas utilizadas na caracterização da computação por funções recursivas.