Operação binária

Na matemática, uma operação binária ou 2-ária é uma operação com dois operandos. Uma operação binária é uma função com duas variáveis de entrada.

Definição

Dados três conjuntos A, B e C, uma operação binária é uma função do produto cartesiano A×B em C.

f : A × B → C {\displaystyle f:A\times B\rightarrow C}

Operações binárias diferem, normalmente, da escrita definida em função, f(a,b) = c. Os símbolos utilizados, em sua maioria, são de operador infixo, tomando o caso das operações de adição, multiplicação etc. Denota-se (a + b), não +(a,b).

Operações binárias são a base do estudo de estruturas algébricas, sendo parte de grupos, monóides, semi-grupos, anéis, corpos, domínios de integridade, etc.

Exemplos de operações binárias são as operações da aritmética como adição, divisão e multiplicação (essas operações valem tanto para matemática quanto para programação); predicados lógicos como OR, XOR, AND.

Propriedades

Muitas operações binárias de interesse são comutativas ou associativas. Muitas possuem também um elemento identidade (elemento neutro) e um elemento inversor. Algumas dessas propriedades nos permitem classificar as álgebras em grupos, semi grupos, grupos abelianos, etc.

Fechamento

Seja # uma operação binária em um conjunto S. Dizemos que # é fechada em S se e somente se ∀ a,b ∈ S, (a # b) ∈ S.

Em geral, esta propriedade faz parte da definição de operação binária num conjunto.

Comutatividade

Ver artigo principal: Comutatividade

A mesma operação # sobre S diz-se comutativa se

∀ x ∀ y , ( x # y ) = ( y # x ) {\displaystyle \forall x\forall y,\;(x\;\#\;y)=(y\;\#\;x)}

Ex. A adição sobre os naturais.

Identidade

Ver artigo principal: Elemento neutro

Uma identidade para # sobre S é um elemento e em S para o qual

∀ x , ( x # e ) = x ∧   ( e # x ) = x {\displaystyle \forall x,\;(x\;\#\;e)=x\land \ (e\;\#\;x)=x}

Ex. 0 é uma identidade para a adição.

Da definição acima é possível afirmar que a identidade para uma operação binária é única. Sejam e, f identidades para #. Então e = e#f = f. Logo e = f. Portanto existe no máximo uma identidade para #.

Associatividade

Ver artigo principal: Associatividade

A operação # sobre S diz-se associativa se e somente se

∀ x , ∀ y , ∀ z , x # ( y # z ) = ( x # y ) # z {\displaystyle \forall x,\forall y,\forall z,\;x\;\#\;(y\;\#\;z)=(x\;\#\;y)\;\#\;z}

Distributividade

Ver artigo principal: Distributividade

Uma operação binária $ é dita distributiva sobre # se

∀ x ∀ y ∀ z , x $ ( y # z ) = ( x $ y ) # ( x $ z ) {\displaystyle \forall x\forall y\forall z,\;x\;\$\;(y\;\#\;z)=(x\;\$\;y)\;\#\;(x\;\$\;z)}

e

∀ x ∀ y ∀ z , ( x # y ) $ z = ( x $ z ) # ( y $ z ) {\displaystyle \forall x\forall y\forall z,\;(x\;\#\;y)\;\$\;z=(x\;\$\;z)\;\#\;(y\;\$\;z)}

Ex. A multiplicação é distributiva sobre a adição, mas a recíproca não é verdadeira.

Elemento inverso

Seja e a identidade para # sobre S. O elemento x-1 é um inverso de x com respeito a # sobre S se

∀ x ( x # x − 1 ) = e , ( x − 1 # x ) = e {\displaystyle \forall x\;(x\;\#\;x^{-1})=e,(x^{-1}\;\#\;x)=e}

Se y é um inverso de x com respeito a # então y é único (para cada x). Suponha que a, b são ambos inversos de x com respeito a # sobre S. Seja e a identidade para # sobre S. Então: 

a = a # e;
  = a # (x # b);
  = (a # x) # b;
  = e # b;
  = b;

Logo a = b , e portanto existe no máximo um elemento inverso.

Referências

  • SCHEINERMAN, Edward R. Matemática Discreta - Uma Introdução. São Paulo: Thomson, 2003. ISBN 85-221-0291-0.

Ver também