Partição de um conjunto

Em matemática, dada uma família de índices ${\textstyle I\subseteq \mathbb {N} }$, dizemos que a família ${\textstyle P=\{A_{i}\}_{i\in I}}$ de subconjuntos de um conjunto A é uma partição sobre (ou "de") A caso as três seguintes condições sejam satisfeitas:

1. ${\displaystyle A_{i}\neq \emptyset }$ para todo ${\displaystyle i\in I}$.
2. ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}=A}$.
3. ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}\neq \emptyset \Rightarrow A_{i}=A_{j}}$.

Portanto, trata-se de um recobrimento no que os subconjuntos pertencentes à família, dois a dois, são disjuntos (ou seja, sua interseção é vazia).^[1]

Exemplos

• Todo conjunto de um elemento {x} tem exatamente uma partição: { {x} }.
• Para qualquer conjunto não vazio X, P = {X} é uma partição de X.
• O conjunto { 1, 2, 3 } tem estas 5 partições:
  • { {1}, {2}, {3} }, às vezes notada por 1/2/3.
  • { {1, 2}, {3} }, às vezes notada por 12/3.
  • { {1, 3}, {2} }, às vezes notada por 13/2.
  • { {1}, {2, 3} }, às vezes notada por 1/23.
  • { {1, 2, 3} }, às vezes notada por 123.
    • { {}, {1,3}, {2} } não é uma partição (pois contém o conjunto vazio).

Ver também

• Recobrimento