Polinômios de Hermite

Os polinômios de Hermite são um exemplo de polinômios ortogonais cujo principal campo de aplicação encontra-se na mecânica quântica, especialmente no estudo do oscilador harmônico unidimensional. São nomeados assim em homenagem a Charles Hermite.

Definição

Os polinômios de Hermite ("polinômios de Hermite probabilísticos") são definidos por:

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}/2}\,\!}$

Ou, às vezes, por ("polinômios de Hermite físicos")

${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}\,\!}$

Essas definições não são exatamente equivalentes: uma é o redimensionamento da outra:

${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2^{n/2}H_{n}^{\mathrm {prob} }({\sqrt {2}}\,x)\,\!}$.

Os polinômios físicos podem ser escritos como:

${\displaystyle H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=(2x)^{n}-{\frac {n(n-1)}{1!}}(2x)^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2!}}(2x)^{n-4}-\dots }$

Propriedades

Ortogonalidade

H_n(x) é um polinômio de grau n, com n = 0, 1, 2, 3 ... . Esses polinômios são ortogonais com relação à função peso

${\displaystyle e^{-x^{2}/2}\,\!}$ (probabilidade)

ou

${\displaystyle e^{-x^{2}}\,\!}$ (física)

ou seja,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}/2}\,dx}$

ou

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={n!2^{n}}{\sqrt {\pi }}~\delta _{\mathit {nm}}}$ (física)

onde ${\displaystyle \delta _{\mathit {nm}}}$ é o delta de Kronecker, que é igual à unidade quando ${\displaystyle n=m}$ e nulo no caso contrário. Os polinômios probabilísticos são ortogonais em relação à função densidade de probabilidade normal.

Função geradora

${\displaystyle e^{2tx-t^{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}^{\mathrm {phys} }(x)t^{n}}{n!}}}$

Fórmulas de recorrência

Os polinômios de Hermite (na forma "física") satisfazem as seguintes relações de recorrência:

${\displaystyle H_{n+1}^{\mathrm {phys} }(x)=2xH_{n}^{\mathrm {phys} }(x)-2nH_{n-1}^{\mathrm {phys} }(x)}$

${\displaystyle {H'}_{n}^{\mathrm {phys} }(x)=2nH_{n-1}^{\mathrm {phys} }(x)}$

Decomposição numa série de funções

Qualquer função f contínua pode ser expressa como uma série infinita em termos dos polinômios de Hermite:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }A_{n}H_{n}(x)=A_{0}H_{0}(x)+A_{1}H_{1}(x)+A_{2}H_{2}(x)+\ldots }$

Onde as constantes são dadas por:

${\displaystyle A_{k}={\frac {1}{2^{k}k!{\sqrt {\pi }}}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}f(x)H_{k}(x)\ dx}$

Paridade dos polinômios

Os polinômios de Hermite satisfazem:

${\displaystyle H_{n}(-x)=(-1)^{n}H_{n}(x)\,}$

Logo ${\displaystyle H_{n}(x)}$ é uma função par para um ${\displaystyle n}$ par, ${\displaystyle n\ =\ \{0,2,4,...\}}$, e é uma função ímpar para um ${\displaystyle n}$ ímpar, ${\displaystyle n\ =\ \{1,3,5,...\}}$.

Outras propriedades

${\displaystyle H_{2n-1}(0)=0\,}$

${\displaystyle H_{2n}^{\mathrm {phys} }(0)=(-1)^{n}2^{n}(1\cdot 3\cdot 5\cdot \dots \cdot (2n-1))}$

Equação diferencial de Hermite

Os polinômios de Hermite são soluções da equação diferencial de Hermite:^[1]

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-2x{\frac {dy}{dx}}+2ny=0}$

Que na forma canônica pode ser escrita como:

${\displaystyle {\frac {1}{e^{-x^{2}}}}{\frac {d}{dx}}\left(e^{-x^{2}}{\frac {dy}{dx}}\right)+2ny=0}$

Referência

• Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em castelhano cujo título é «Polinomios de Hermite», especificamente desta versão.

• Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo. McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid): [s.n.] ISBN 84-7615-197-7  A referência emprega parâmetros obsoletos |coautores= (ajuda)