Kardinalnost

Kardinalnost (kardinalitet)^[1] je pojam iz matematike iz teorije skupova, koji označava broj elemenata nekog skupa. Na primjer, skup A = {2, 4, 6} sadrži 3 elementa, dakle kardinalnost skupa A je 3.

Georg Kantor je u 19. veku uveo pojam kardinalnosti za ispitivanje beskrajnih skupova. Po njemu, dva skupa koja je moguće staviti u odnos jedan na jedan imaju jednaku kardinalnost, odnosno isti broj članova.^[2] Po tom kriteriju, moguće je da podskup nekog beskonačnog skupa bude iste veličine kao sam skup, što kod konačnih skupova nije moguće.^[2]

Kardinalnost skupa A se obično označava kao |A|. Pošto je ovaj zapis isti kao i za apsolutnu vrijednost, značenje zapisa ovisi o kontekstu.

Upoređivanje skupova

Za dva skupa A i B kažemo da imaju istu kardinalnost ako postoji bijekcija, tj. injektivna i surjektivna funkcija, sa A na B. Na primer, skup pozitivnih parnih brojeva E = {2, 4, 6, ...} i skup prirodnih brojeva N imaju istu kardinalnost, pošto je funkcija ${\displaystyle f(n)=2n}$ bijekcija sa N na E.

Formalni zapis

Dva su skupa jednake kardinalnosti odnosno ekvipotentni su ako postoji bijekcija:

${\displaystyle f:A\to B}$ onda je izraz:

${\displaystyle k(A)=k(B)}$

Postoji li injekcija

${\displaystyle f:A\to B}$ onda je izraz:

${\displaystyle k(A)\leq k(B)}$

a ako postoji surjekcija

${\displaystyle f:A\to B}$, onda je izraz:

${\displaystyle k(A)\geq k(B)}$

Ovdje je implicitno uporabljen aksiom izbora.^[1]

Kardinalnost skupa prirodnih brojeva zove se alef nula i formalni zapis je:

${\displaystyle k(N)=\aleph _{0}}$ ^[1]

Ako za skup A postoji bijekcija:

${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$,

onda je kardinalnost skupa A jednak kontinuum i u formalnom jeziku:

${\displaystyle k(R)=c}$. ^[1]

Izvori

Vidi još

• Teorija skupova
• Beskonačnost