Em matemática, a métrica de Lévy–Prokhorov, algumas vezes chamada apenas de métrica de Prokhorov, é uma métrica, isto é, uma definição de distância, sobre a coleção de medidas de probabilidade em um dado espaço métrico. Recebe este nome em homenagem ao matemático francês Paul Lévy e ao matemático soviético Yuri Prokhorov. Prokhorov apresentou a métrica em 1956 como uma generalização da métrica de Lévy anterior.[1]
Definição
Considere
um espaço métrico com sua sigma-álgebra de Borel
. Suponha que
denota a coleção de todas as medidas de probabilidade sobre o espaço mensurável
.
Para um subconjunto
, defina a vizinhança
de
por:
![{\displaystyle A^{\varepsilon }:=\{p\in M|\exists q\in A,d(p,q)<\varepsilon \}=\bigcup _{p\in A}B_{\varepsilon }(p),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4478d1d3cc560a020724d8a0453e2f6788e2a7a2)
em que
é a bola aberta de raio
centrada em
. A métrica de Lévy–Prokhorov
é definida ao configurar a distância entre duas medidas de probabilidade
e
como:[2]
![{\displaystyle \pi (\mu ,\nu ):=\inf \left\{\varepsilon >0|\mu (A)\leq \nu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{e}}\ \nu (A)\leq \mu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{para todo }}A\in {\mathcal {B}}(M)\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd428b59df7306d62f52ae23e1a07fe61a62892b)
para medidas de probabilidade claramente
.
Alguns autores omitem uma das duas desigualdades ou escolher apenas
aberto ou fechado. Uma desigualdade implica a outra e
, mas restringir a conjuntos abertos pode mudar a métrica então definida (se
não for um espaço polonês).
Propriedades
- Se
for separável, a convergência de medidas na métrica de Lévy–Prokhorov é equivalente à convergência fraca de medidas. Assim,
é uma metrização da topologia de convergência fraca em
.[3] - O espaço métrico
é separável se e somente se
for separável. - Se
for completo, então,
é completo. Se todas as medidas em
tiverem suporte separável, então, a implicação recíproca se aplica: se
for completo, então,
é completo. - Se
for separável e completo, um subconjunto
é relativamente compacto se e somente se seu
-fechamento for
-compacto.
Referências
- ↑ «Lévy metric - Encyclopedia of Mathematics». www.encyclopediaofmath.org (em inglês). Consultado em 3 de agosto de 2017
- ↑ «Lévy-Prokhorov metric - Encyclopedia of Mathematics». www.encyclopediaofmath.org (em inglês). Consultado em 3 de agosto de 2017
- ↑ Billingsley, Patrick (25 de junho de 2013). Convergence of Probability Measures (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9781118625965
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