作用素位相

数学の関数解析学の分野では、ヒルベルト空間 H 上の有界線形作用素の環 B(H) に対して与えられる標準的な作用素位相（さようそいそう、英: operator topology）がいくつか存在する。

導入

{T_n} をヒルベルト空間 H 上の線型作用素の列とする。T_n が H 内である作用素 T に収束するということについて考える。これには次のようないくつかの異なる意味がある：

• ${\displaystyle \|T_{n}-T\|\to 0}$、すなわち、T_n - T の作用素ノルム（H 内の単位球内の x に関する ${\displaystyle \Vert T_{n}x-Tx\Vert _{H}}$ の上限）が 0 に収束するとき、一様作用素位相（uniform operator topology）で ${\displaystyle T_{n}\to T}$ が成り立つという。
• H 内のすべての x に対して ${\displaystyle T_{n}x\to Tx}$ となるとき、強作用素位相（strong operator topology）で ${\displaystyle T_{n}\to T}$ が成り立つという。
• H 上のすべての線型汎函数 F に対して ${\displaystyle F(T_{n}x)\to F(Tx)}$ となるとき、弱作用素位相（weak operator topology）で ${\displaystyle T_{n}\to T}$ が成り立つという。

これらのすべての概念は、ヒルベルト空間 H の代わりにバナッハ空間を考えても意味を持ち、有用である。

B(H) 上の位相

上述のものの他にも、B(H) 上で定義できる位相は多く存在する。これらの位相はすべて局所凸であり、半ノルムの族によって定義される。

解析学において、位相は、多くの開集合を持つなら強と呼ばれ、少ない開集合を持つなら弱と呼ばれる。したがって、それらに対応する収束の種類はそれぞれ、強と弱になる。

バナッハ空間 B(H) は、双対が B(H) であるようなトレース級作用素からなる（唯一つの）前双対（英語版） B(H)_* を持つ。その前双対において正である w に対する半ノルム p_w(x) は (w, x^*x)^1/2 で定義される。

B がベクトル空間 A 上の線型写像からなるベクトル空間であるとき、B のすべての元が連続であるような A 上の最も弱い位相として、σ(A, B) が定義される。

• ノルム位相（あるいは一様位相、一様作用素位相）は、B(H) 上の通常のノルム ||x|| によって定義される。これは以下に挙げる他のすべての位相よりも強い。
• 弱（バナッハ空間）位相とは、σ(B(H), B(H)^*) のことである。すなわち、双対 B(H)^* のすべての元が連続であるような最も弱い位相のことである。これはバナッハ空間 B(H) 上の弱位相であり、超弱位相や弱作用素位相よりは強い（注意：弱バナッハ空間位相、弱作用素位相および超弱位相はしばしばすべて弱位相と呼ばれるが、それらは異なるものである）。
• マッキー位相あるいはアレンス＝マッキー位相は、双対が B(H)_* であるような B(H) 上の最も強い局所凸位相である。それはまた、B(H)_* 内の B(H)-コンパクトな部分集合 σ(B(H)_* 上の一様収束位相でもある。これは以下に述べるすべての位相よりも強い。
• σ-強^*位相あるいは超強^*位相は、随伴作用素が連続であるような超強位相よりも強い最弱位相である。B(H)_* の正の元 w に対する半ノルム p_w(x) および p_w(x^*) の族によって定義される。
• σ-強位相あるいは超強位相（英語版）、最強位相または最強作用素位相と呼ばれるものは、B(H)_* の正の元 w に対する半ノルム p_w(x) の族によって定義される。こおれは強^* 位相を除く以下の位相よりも強い。注意：「最強位相」という呼び名であるが、ノルム位相よりは弱い。
• σ-弱位相あるいは超弱位相（英語版）、弱^* 作用素位相、弱 * 位相、弱位相または σ(B(H), B(H)_*) 位相と呼ばれるものは、B(H)_* の元 w に対する半ノルム |(w, x)| の族で定義される。注意：弱バナッハ空間位相、弱作用素位相および超弱位相はしばしばすべて弱位相と呼ばれるが、それらは異なるものである。
• 強^* 作用素位相あるいは 強^* 位相と呼ばれるものは、H 内の h に対する半ノルム ||x(h)|| および ||x^*(h)|| によって定義される。これは強作用素位相および弱作用素位相よりも強い。
• 強作用素位相（SOT）あるいは強位相と呼ばれるものは、H 内の h に対する半ノルム ||x(h)|| によって定義される。これは弱作用素位相よりも強い。
• 弱作用素位相（WOT）あるいは弱位相と呼ばれるものは、H 内の h₁ と h₂ に対する半ノルム |(x(h₁), h₂)| によって定義される。注意：弱バナッハ空間位相、弱作用素位相および超弱位相はしばしばすべて弱位相と呼ばれるが、それらは異なるものである。

関連項目

• トポロジー
• ヒルベルト空間
• 有界作用素

参考文献

• Functional analysis, by Reed and Simon, ISBN 0-12-585050-6
• Theory of Operator Algebras I, by M. Takesaki (especially chapter II.2) ISBN 3-540-42248-X

表 話 編 歴 関数解析学
集合 / 部分集合のタイプ	均衡 星状 絶対凸 凸 併呑 有界（英語版） 放射状（英語版） 対称（英語版） 線型錐（部分集合） 凸錐（部分集合）
線型位相空間のタイプ	バナッハ 樽型 界相 Brauner（英語版） F-空間 有限次元 フレシェ (tame) ヒルベルト LF空間 局所凸 マッキー（英語版） モンテル 核型 ノルム付き（ノルム） 準ノルム付き 回帰的 リース スミス（英語版） Stereotype（英語版） ウェブ付き 位相テンソル積（英語版）（ヒルベルト空間の（英語版））
位相	双対 双対空間 作用素 強（極 作用素） Ultrastrong（英語版） 弱（作用素） Ultraweak（英語版） 一様収束（英語版）
線型作用素	随伴 双線型（形式） 有界 / 非有界 閉（英語版） 連続 / 不連続 コンパクト フレドホルム ヒルベルト＝シュミット 汎関数（正（英語版）） 正規 核 自己共役 Strictly singular（英語版） トレースクラス 転置 ユニタリ
集合の操作	代数的内部（核） 内部 ミンコフスキー和（英語版） 極
バナッハ環	C*-環 スペクトル（C*-環（英語版） 半径) スペクトル理論
定理	Eberlein–Šmulian（英語版） 開写像 角谷の不動点 ゲルファント＝マズール コーシー＝シュワルツの不等式 Goldstine（英語版） シャウダーの不動点 パーセヴァルの等式 ハーン–バナッハ（分離超平面） バナッハ＝アラオグル Banach–Saks（英語版） Banach–Mazur（英語版） フロイデンタールのスペクトル 閉値域 閉グラフ ベッセルの不等式 マッキー＝アレンス マズールの補題 リースの拡張 Lomonosov's invariant subspace（英語版） ニュートン＝カントロビッチ
解析	ボホナー空間 フレシェ空間における微分（英語版） 微分（フレシェ ガトー 汎函数 holomorphic（英語版）） 積分（ボホナー Dunford ゲルファント＝ペティス 方正 弱) 汎函数計算（Borel（英語版） continuous（英語版） holomorphic（英語版）） 逆函数定理（Nash–Moser theorem（英語版）） ベクトル測度
応用	量子力学の数学的定式化 有限要素法 偏微分方程式の解に対する精度保証付き数値計算
日本人研究者	加藤敏夫 吉田耕作 藤田宏 増田久弥
海外の研究者	リース・フリジェシュ ステファン・バナフ ダフィット・ヒルベルト イズライル・ゲルファント ピーター・ラックス
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