Cálculo |
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Definições Conceitos Tabela de derivadas - Somas
- Produto
- Regra da cadeia
- Potências
- Quocientes
- Fórmula de Faà di Bruno
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Cálculo integral Definições Integração por |
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No cálculo integral, integração por partes é um método que permite expressar a integral de um produto de funções em outra integral. A integração por partes pode ser vista como uma versão integrada da regra do produto.
A fórmula típica é a seguinte:[1][2]
![{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x={\Bigl [}f(x)g(x){\Bigr ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\,\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9d3b14560c85d6479ddcb7e3f93687c8222795d)
onde
e
são funções de classe C1 no intervalo
, ou seja, são diferenciáveis e suas derivadas são contínuas entre a e b. Ou, ainda, de forma mais enxuta:
onde
,
,
e
.
Exemplos
Algumas antiderivadas podem ser obtidas via integração por partes. Vejamos alguns exemplos:
+ C
onde escolheu-se
e
.
![{\displaystyle \int _{1}^{2}x\ln(x)dx=\left[{\frac {x^{2}}{2}}\ln(x)\right]_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\int _{1}^{2}xdx\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cf7b0da913c23197ce0715542fa8787df63a3b)
escolhendo
e
.
Demonstração
Pela regra do produto, temos que:
Integrando dos dois lados em dx, ficamos com:
Abrindo o u'(x) e v'(x):
Simplificando as integrais, ficamos com:
Conclui-se que:
Ver também
Referências
- ↑ Anton, Howard (2014). Cálculo - Volume 1 10 ed. [S.l.]: Bookman. ISBN 9788582602256
- ↑ Stewart, James (2013). Cálculo - Volume 1 7 ed. [S.l.]: Cengage. ISBN 9788522112586
Bibliografia
- Ávila, Geraldo Severo de Souza. Introdução à análise matemática. 2aedição. São Paulo: Edgard Blucher, 1999.
- Rudin, Walter. Principles of mathematical analysis. 3aedição. Auckland: Mcgraw-Hill, 1976.