Cálculo |
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Definições Conceitos Tabela de derivadas - Somas
- Produto
- Regra da cadeia
- Potências
- Quocientes
- Fórmula de Faà di Bruno
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Cálculo integral Definições Integração por |
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A Matriz Jacobiana (denominado do matemático alemão Carl Gustav Jakob Jacobi) é a matriz formada pelas derivadas parciais de primeira ordem de uma função vetorial. Se uma função é diferenciável num ponto, a sua derivada é dada em coordenadas pela Jacobiana, mas uma função não precisa ser diferenciável para a existência da Jacobiana; basta que as derivadas parciais existam.
Definição formal
Seja
, ou seja, uma função que denominaremos "F", com domínio e imagem no espaço euclidiano n e m dimensional, respectivamente. Tal função é definida por um vetor de m componentes, sendo cada componente uma função
. As derivadas parciais dessas funções podem ser organizadas numa matriz m x n, que é denominada Matriz Jacobiana. Assim, a Jacobiana é definida como:
Em linguagem matemática | Em Português |
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a62511998a01858333f371678241d84ec3bdfb4) | Matriz de m linhas e n colunas. A primeira linha representa as derivadas parciais da função em relação a todos os x (de x1 a xn). A segunda linha representa as derivadas parciais de (também em relação a todos os x), e assim por diante, até a linha de número m, que representa as derivadas parciais de em relação a todos os xs. |
Notação
A Jacobiana é representada por
ou
A k-ésima linha da matriz é dada pela transposta do gradiente de
Determinante Jacobiano
O Jacobiano é definido como sendo o determinante da Jacobiana. Ele é de grande importância na mudança de variáveis em integrais múltiplas e no Teorema da Função Inversa.
Exemplos
- Exemplo 1: Seja
. Aqui,
e
. A matriz jacobiana de F é:
[1]
O determinante Jacobiano é
.
- Exemplo 2: Vamos montar a Jacobiana da mudança de variáveis cartesianas para polares. A função que faz a transformação é:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=r\cos \theta \\y=r\operatorname {sen} \theta \end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb9d129c6443e0de81bb483363a02ca4f18141c)
A Jacobiana é dada então por:
![{\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (r,\theta )}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\operatorname {sen} \theta \\\operatorname {sen} \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad219713e96d07b05f9905862b99fe29b225437)
O Jacobiano é
. portanto poderá ser feito de acordo com alguns métodos matemáticos
- Exemplo 3 (mudança de variáveis em Estatística, relacionado à distribuição de Erlang):[2] Seja (X,Y) um par aleatório absolutamente contínuo com densidade de probabilidade conjunta
. Seja também G uma função
injectiva (portanto com inversa) com dois componentes G(x,y) = (u,v). Cada um destes componentes é função de duas variáveis reais, tal que
, sendo que g1 e g2 possuem derivadas parciais em relação a x e a y
Portanto, podemos definir o par aleatório (U,V)=G(X,Y). Como determinar a densidade de probabilidade conjunta do par (U,V) a partir da densidade conjunta de (X,Y)?
Como G tem inversa, podemos escrever:
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=&h_{1}(u,v)\\y=&h_{2}(u,v)\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f3f2e08a544e9fe605f86171816ff19e69bf168)
A densidade conjunta de (U,V) será:
, em que
representa o módulo do determinante jacobiano, isto é, o módulo de
.
Assim, digamos que (U,V) = (X+Y,X-Y). Teremos então
![{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=&h_{1}(u,v)=&{\frac {u+v}{2}}\\y=&h_{2}(u,v)=&{\frac {u-v}{2}}\end{matrix}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78b9c130e66e308aacb573f2c40d88e8e6a81b9d)
O determinante jacobiano neste caso (chamado de jacobiano da transformação[3]) será
. O módulo deste determinante é
. A função densidade de probabilidade conjunta é, portanto:
![{\displaystyle f_{U,V}(u,v)=\left|J\right|f_{X,Y}h_{1}(u,v)h_{2}(u,v)={\frac {1}{2}}f_{X,Y}\left({\frac {u+v}{2}},{\frac {u-v}{2}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc27f30b9a663359aa1d3a9c9369ae92f98b54ce)
Aproximação linear
A Jacobiana representa a melhor aproximação linear de uma função diferenciável nas vizinhanças de um ponto. Semelhante à aproximação de funções de uma variável pela derivada, uma função vetorial F diferenciável num ponto
pode ser aproximada por:
![{\displaystyle F(\mathbf {x} )\approx F(\mathbf {x_{0}} )+J_{F}(\mathbf {x_{0}} )\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x_{0}} )^{T}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/637b69594528fd7a7f257f094336f7547e845414)
sendo
um ponto próximo de
. Essa aproximação é de grande importância no cálculo numérico, onde a Jacobiana e o seu determinante são utilizados para resolver sistemas não-lineares pelo método de Newton (ou método do Gradiente Iterativo).
Ver também
Referências
- ↑ «Confira este exemplo e faça outros com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016
- ↑ Faculdade de ciências - universidade de Lisboa. Mais sobre variáveis aleatórias. capítulo 3. Páginas 18 e 19. Disponível em: <http://www.deio.fc.ul.pt/disciplinas/ficheiros_apoio/mest_est/probab/TAlpuim_Cap3Novo.pdf[ligação inativa]>. Acesso em: 10 de março de 2011.
- ↑ CASELLA, George, e BERGER, Roger L. Inferência estatística - tradução da segunda edição norte-americana. São Paulo: Centage Learning, 2010. ISBN 978-85-221-0894-7. Página 142 e 192.